2008-2009学年浙江省台州市高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数（1+i）²的值是（ ）
A．-2
B．2
C．-2i
D．2i

2. 难度：中等

抛物线的焦点坐标是（ ）
A．
B．
C．（0，1）
D．（1，0）

3. 难度：中等

已知=（0，3，3），=（-1，1，0），则向量与的夹角为（ ）
A．60°
B．45°
C．30°
D．0°

4. 难度：中等

已知函数f（x）=xe^x，则f′（x）等于（ ）
A．e^x
B．xe^x
C．e^x（x+1）
D．xln

5. 难度：中等

下列四个命题：
①“∀x∈R，2x+5＞0”是全称命题；
②命题“∀x∈R，x²+5x=6”的否定是“∃x∉R，使x²+5x≠6”；
③若|x|=|y|，则x=y；
④若p∨q为假命题，则p、q均为假命题．
其中真命题的序号是（ ）
A．①②
B．①④
C．②④
D．①②③④

6. 难度：中等

已知p：A={x||x-a|＜4}，q：B={x|（x-2）（x-3）＜0}，若￢p是￢q的充分条件，则a的取值范围为（ ）
A．-1≤a≤6
B．-1＜a＜6
C．a＜-1或a＞6
D．a≤-1或a≥6

7. 难度：中等

到两定点A（0，0），B（3，4）距离之和为5的点的轨迹方程是（ ）
A．3x-4y=0（x＞0）
B．4x-3y=0（0≤x≤3）
C．4y-3x=0（0≤y≤4）
D．3y-4x=0（y＞0）

8. 难度：中等

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均为2，且A₁A⊥底面ABC，D为AB的中点，G为△ABC₁的重心，则||的值为（ ）

A．
B．
C．
D．2

9. 难度：中等

如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，下列说法错误的是（ ）

A．-2是函数y=f（x）的极小值点
B．1是函数y=f（x）的极值点
C．y=f（x）在x=0处切线的斜率大于零
D．y=f（x）在区间（-2，2）上单调递增．

10. 难度：中等

在△ABC中，|AB|=|AC|=2，顶点A，B在椭圆上，顶点C为椭圆的左焦点，线段AB过椭圆的右焦点F且垂直于长轴，则该椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知函数f（x），g（x）满足f（5）=5，f′（5）=3，g（5）=4，g′（5）=1，则函数y=的图象在x=5处的切线方程为（ ）
A．x-4y+3=0
B．3x-y-13=0
C．x-y-3=0
D．5x-16y+3=0

12. 难度：中等

已知点P为椭圆和双曲线的一个交点，点F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，则∠F₁PF₂的余弦值是（ ）
A．0
B．
C．1
D．

13. 难度：中等

设△ABC是边长为2的等边三角形，P是△ABC内任意一点，P到三边的距离分别为d₁，d₂，d₃，根据三角形PAB、PBC、PCA的面积之和等于△ABC的面积，可得d₁，d₂，d₃为定值，由此类比：P是棱长为3的正四面体ABCD内任意一点，且P到各面的距离分别为h₁，h₂，h₃，h₄，则h₁+h₂+h₃+h₄的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

14. 难度：中等

已知点P是双曲线右支上的任意一点，由P点向双曲线的两条渐近线引垂线，垂足为M和N，则△PMN的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

15. 难度：中等

在抛物线y²=2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为    ．

16. 难度：中等

已知（其中a、b是实数，i是虚数单位），则a+b=    ．

17. 难度：中等

设向量⊥，＜，＞=＜，＞=且||=1，||=2，||=3，则|++|=    ．

18. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是C₁C中点，则BE与平面B₁BDD₁所成角的正弦值为    ．

19. 难度：中等

已知f₁（x）=sinx+cosx，记f₂（x）=f₁′（x），f₃（x）=f₂′（x），…，f_n（x）=f_n-1′（x）（n∈N^*，n≥2），则f₁（）+f₂（）+…+f₂₀₀₉（）=    ．

20. 难度：中等

若在圆内作n条弦，两两相交，将圆最多分割成f（n）部分，有f（1）=2，f（2）=4，则f（n）的表达式为    ．

三、解答题

21. 难度：中等

设命题p：曲线y=x³-2ax²+2ax上任一点处的切线的倾斜角都是锐角；命题q：直线y=x+a与曲线y=x²-x+2有两个公共点；若命题p和命题q中有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围．

22. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=，a_n=（n∈N^*，n≥2）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄，并猜想数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=且c_n=lgb_n，判断数列{c_n}是否为等比数列？并说明理由．

23. 难度：中等

如图，已知四棱锥S-ABCD的底面是边长为4的正方形，S在底面上的射影O落在正方形ABCD内，SO的长为3，O到AB，AD的距离分别为2和1，P是SC的中点．
（Ⅰ）求证：平面SOB⊥底面ABCD；
（Ⅱ）设Q是棱SA上的一点，若=，求平面BPQ与底面ABCD所成的锐二面角余弦值的大小．

24. 难度：中等

已知椭圆C：的长轴长为4，F₁，F₂分别为其左、右焦点，抛物线y²=-4x的焦点为F₁．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过焦点F₁的直线l与椭圆C交于P，Q两点，求△F₂PQ面积的最大值．

25. 难度：中等

已知P（x，y）为函数y=lnx图象上一点，O为坐标原点，记直线OP的斜率f（x）．
（Ⅰ）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）令g（x）=x²-ax•f（x），试讨论函数g（x）在区间（1，e^a）上零点的个数（e为自然对数的底数，e=2.71828…）．