2013-2014学年河北省邯郸市武安三中高三（上）第一次摸底数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁_U（A∪B）=（ ）
A．{1，3，4}
B．{3，4}
C．{3}
D．{4}

2. 难度：中等

已知i是虚数单位，则（2+i）（3+i）=（ ）
A．5-5i
B．7-5i
C．5+5i
D．7+5i

3. 难度：中等

集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

双曲线x²-y²=1的顶点到其渐近线的距离等于（ ）
A．
B．
C．1
D．

5. 难度：中等

命题“对任意x∈R，都有x²≥0”的否定为（ ）
A．对任意x∈R，都有x²＜0
B．不存在x∈R，都有x²＜0
C．存在x∈R，使得x²≥0
D．存在x∈R，使得x²＜0

6. 难度：中等

已知数列{a_n}满足（ ）
A．-6（1-3^-10）
B．
C．3（1-3^-10）
D．3（1+3^-10）

7. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输入n=8，则输出S=（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

直线x+2y-5+=0被圆x²+y²-2x-4y=0截得的弦长为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．4

9. 难度：中等

函数y=xcosx+sinx的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．200+9π
B．200+18π
C．140+9π
D．140+18π

12. 难度：中等

设函数f（x）=e^x+x-2，g（x）=lnx+x²-3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（ ）
A．g（a）＜0＜f（b）
B．f（b）＜0＜g（a）
C．0＜g（a）＜f（b）
D．f（b）＜g（a）＜0

二、填空题

13. 难度：中等

设、为两非零向量，且满足，则两向量、的夹角的余弦值为    ．

14. 难度：中等

若x、y满足约束条件则z=-x+y的最小值为    ．

15. 难度：中等

已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为    ．

16. 难度：中等

函数y=cos（2x+φ）（-π≤φ＜π）的图象向右平移 个单位后，与函数y=sin（2x+）的图象重合，则φ=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

等差数列{a_n}中，a₇=4，a₁₉=2a₉，
（I）求{a_n}的通项公式；
（II）设．

18. 难度：中等

某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：千克/米²）如下表所示：

	A	B	C	D	E
身高	1.69	1.73	1.75	1.79	1.82
体重指标	19.2	25.1	18.5	23.3	20.9

（Ⅰ）从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率
（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率．

19. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，已知PB=PD=2，PA=．
（Ⅰ）证明：PC⊥BD
（Ⅱ）若E为PA的中点，求三棱锥P-BCE的体积．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+3ax²+3x+1．
（I）求；
（II）若x∈[2，+∞）时，f（x）≥0，求a的取值范围．

21. 难度：中等

椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率，a+b=3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m-k为定值．

22. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x²-14x+mn=0的两个根．
（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；
（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．

23. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为（α为参数）M是C₁上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C₂
（Ⅰ）求C₂的方程
（Ⅱ）在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C₁的异于极点的交点为A，与C₂的异于极点的交点为B，求|AB|．

24. 难度：中等

设函数f（x）=|x-a|+3x，其中a＞0．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式的f（x）≥3x+2解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤-1}，求a的值．