2011-2012学年江西省德兴一中、横峰中学、铅山一中、弋阳一中四校联考高二（下）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

“x²-5x+4＜0”是“|x-2|＜1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

复数z= （i是虚数单位）在复平面上所对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

在△ABC中，若，则角A的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

若P为△OAB的边AB上一点，且△OAP的面积与△OAB的面积之比为1：3，则有（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

阅读如图所示的算法框图，输出的结果S的值为（ ）

A．
B．
C．0
D．

6. 难度：中等

下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．y=tan
B．y=3^x
C．
D．y=lg|x|

7. 难度：中等

在一球内有一边长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a_n-1+a_n+1-a_n²=0，S_2n-1=38，则n=（ ）
A．38
B．20
C．10
D．9

9. 难度：中等

已知双曲线的焦点为F₁、F₂，M为双曲线上一点，以F₁F₂为直径的圆与双曲线的一个交点为M，且，则双曲线的离心率（ ）
A．
B．
C．2
D．

10. 难度：中等

设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）-g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x²-3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为（ ）
A．（-，-2]
B．[-1，0]
C．（-∞，-2]
D．（-，+∞）

二、填空题

11. 难度：中等

在区间[-5，5]内随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x²+ax-a²＞0}的概率为    ．

12. 难度：中等

点（a，b）在两直线y=x-1和y=x-3之间的带状区域内（含边界），则f（a，b）=a²-2ab+b²+4a-4b的最小值为    ．

13. 难度：中等

函数f（x）的定义域为A，若x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数．下列命题：
①函数f（x）=x²（x∈R）是单函数；
②若f（x）为单函数，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂）；
③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；
④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数．
其中的真命题是    ．（写出所有真命题的编号）

14. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0）的准线与圆x²+y²-6x-7=0相切，则p的值为    ．

15. 难度：中等

15、已知某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）如图，函数f（x）在[-1，1]上的图象与x轴的交点从左到右分别为M、N，图象的最高点为P，求与的夹角的余弦．

17. 难度：中等

某中学的高二（1）班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．
（Ⅰ）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；
（Ⅱ）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；
（Ⅲ）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为68，70，71，72，74，第二次做试验的同学得到的试验数据为69，70，70，72，74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由．

18. 难度：中等

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=a，，E为CC₁的中点，AC∩BD=O．
（Ⅰ） 证明：OE∥平面ABC₁；
（Ⅱ）证明：A₁C⊥平面BDE．

19. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=3，前n项和为S_n，{b_n}是等比数列，b₁=1，且b₂S₂=64，b₃S₃=960．求数列{a_n}与{b_n}的通项公式．

20. 难度：中等

已知椭圆的左右焦点为F₁，F₂，离心率为，以线段F₁ F₂为直径的圆的面积为π．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l过椭圆的右焦点F₂（l不垂直坐标轴），且与椭圆交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M（m，0），试求m的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）当a≤0时，讨论函数f（x）的单调性．