2012-2013学年浙江省杭州高级中学高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数z=-1在复平面内，z所对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，设，则x+y+z等于（ ）
A．1
B．
C．
D．

3. 难度：中等

“a=1”是“直线（a²+a）x+y=0和直线2x+y+1=0互相平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

下列有关命题的说法错误的是（ ）
A．命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题为：“两直线不平行，同位角不相等”
B．“x=1”是“x²-4x+3=0”的充分不必要条件
C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
D．对于命题p：∃x∈R，使得x²+2x+2≤0，则¬p：∀x∈R，均有x²+2x+2＞0

5. 难度：中等

某几何体的正视图和侧视图均为如图1所示，则在图2的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是（ ）

A．（1）（3）
B．（1）（4）
C．（2）（4）
D．（1）（2）（3）（4）

6. 难度：中等

抛物线y²=x上的点到直线x-2y+2=0的最短距离是（ ）
A．
B．
C．
D．2

7. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下列结论错误的是（ ）

A．BD₁⊥B₁C
B．直线B₁C与直线A₁C₁所成的夹角为
C．线段BD₁在平面AB₁C内的射影是一个点
D．线段BD₁恰被平面AB₁C平分

8. 难度：中等

直线l过P（1，2），且A（2，3），B（4，-5）到l的距离相等，则直线l的方程是（ ）
A．4x+y-6=0
B．x+4y-6=0
C．3x+2y-7=0或4x+y-6=0
D．2x+3y-7=0或x+4y-6=0

9. 难度：中等

过双曲线x²-=1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|=4，则这样的直线l有（ ）
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条

10. 难度：中等

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，设∠DAB=θ，θ∈（0，），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e₁，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e₂，则（ ）

A．随着角度θ的增大，e₁增大，e₁e₂为定值
B．随着角度θ的增大，e₁减小，e₁e₂为定值
C．随着角度θ的增大，e₁增大，e₁e₂也增大
D．随着角度θ的增大，e₁减小，e₁e₂也减小

二、填空题

11. 难度：中等

已知向量，，且与垂直，则k等于    ．

12. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱AB的中点，则直线C₁E与平面ACC₁A₁所成角的正切值为    ．

13. 难度：中等

已知空间四边形OABC各边及其对角线OB、AC的长都是2，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G是线段MN的中点，连结OG，则OG的长为    ．

14. 难度：中等

如图，F₁，F₂分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF₂是面积为的正三角形，则b²的值是    ．

15. 难度：中等

如图，在三棱锥A-BCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，AB=AC=AD=4，点P，Q分别在侧面ABC棱AD上运动，PQ=2，M为线段PQ中点，当P，Q运动时，点M的轨迹把三棱锥A-BCD分成上、下两部分的体积之比等于    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知命题p：在区间（0，+∞）上是减函数，命题q：不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4≥0的解集为空集，若p或q是真命题，求实数a的取值范围．

17. 难度：中等

设圆O：x²+y²=4，O为坐标原点
（I）若直线l过点P（1，2），且圆心O到直线l的距离等于1，求直线l的方程；
（II）已知定点N（4，0），若M是圆O上的一个动点，点P满足，求动点P的轨迹方程．

18. 难度：中等

如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2，DE=1
（1）求证：CE∥面ABF；
（2）若二面角A-BF-D的平面角的余弦值为，求AB的长．

19. 难度：中等

设抛物线C：x²=2py（p＞0），F为焦点，抛物线C上一点P（m，3）到焦点的距离是4，抛物线C的准线l与y轴的交点为H
（1）求抛物线C的方程；
（2）设M是抛物线C上一点，E（0，4），延长ME、MF分别交抛物线C于点A、B，若A、B、H三点共线，求点M的坐标．