2012-2013学年广东省东莞四中、济川中学、厚街中学三校高三（下）联考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={x|x＜3}，N={x|x²-6x+8＜0}，则M∩N=（ ）
A．∅
B．{x|0＜x＜3}
C．{x|1＜x＜3}
D．{x|2＜x＜3}

2. 难度：中等

复数等于（ ）
A．1+2i
B．1-2i
C．2+i
D．2-i

3. 难度：中等

“a=±1”“是函数y=cos²ax-sin²ax的最小正周期为π”的（ ）
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分条件也不必要条件

4. 难度：中等

方程2^x=x+3的一个根所在的区间是（ ）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，4）

5. 难度：中等

一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为，则判断框中应填入的条件是（ ）
A．i＜4
B．i＜5
C．i≥5
D．i＜3

6. 难度：中等

如果一空间几何体的正视图与侧视图均为等边三角形，俯视图是半径为3的圆及其圆心，则这个几何体的体积为（ ）
A．π
B．3π
C．3
D．9π

7. 难度：中等

将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（ ）
A．y=2cos²
B．y=2sin²
C．
D．y=cos2

8. 难度：中等

若双曲线的一条渐近线方程为．则此双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知函数f（x）是（-∞，+∞）上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log₂（x+1），则f（-2012）+f（2013）的值为（ ）
A．-2
B．-1
C．2
D．1

10. 难度：中等

命题p：∀x∈[1，2]，x²-a≥0；命题q：∃x∈R，x²+2ax+2-a=0，若命题p且q为真，则a取值范围为（ ）
A．a≤-2或a=1
B．a≤-2或1≤a≤2
C．a≥1
D．-2a≤a≤1

二、填空题

11. 难度：中等

已知平面向量，且，则=    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程为2x-y+1=0，则f（1）+f′（1）=    ．

13. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件：．则目标函数z=2x+3y的最小值为    ．

14. 难度：中等

（几何证明选讲）如图所示，AC和AB分别是圆O的切线，B、C 为切点，且OC=3，AB=4，延长OA到D点，则△ABD的面积是    ．

15. 难度：中等

（选做题）设P（x，y） 是曲线C：（θ为参数）上任意一点，则的取值范围是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在锐角△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足．
（1）求B的大小；
（2）如果b=a=2，求△ABC的面积S_△ABC．

17. 难度：中等

为了了解某年段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）；…；第五组[17，18]．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3：8：19，且第二组的频数为8．
（Ⅰ）将频率当作概率，请估计该年段学生中百米成绩在[16，17）内的人数；
（Ⅱ）求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩；
（Ⅲ）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率．

18. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₁=3，其前n项和为S_n，等比数列{b_n}的各项均为正数，b₁=1，公比为q，且b₂+S₂=12，．
（Ⅰ）求a_n与b_n；
（Ⅱ）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

19. 难度：中等

已知如图：平行四边形ABCD中，BC=6，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G，H分别是DF，BE的中点．
（1）求证：GH∥平面CDE；
（2）若CD=2，DB=4，求四棱锥F-ABCD的体积．

20. 难度：中等

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C上的动点P引圆O：x²+y²=b²的两条切线PA、PB，A、B分别为切点，试探究椭圆C上是否存在点P，由点P向圆O所引的两条切线互相垂直？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知f（x）=xlnx，．
（1）当a=2时，求函数y=g（x）在[0，3]上的值域；
（2）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．