2011-2012学年广东省东莞中学松山湖学校高三（上）12月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数，则复数=（ ）
A．
B．
C．i
D．-i

2. 难度：中等

下列函数中，既是偶函数、又在区间（-1，0）单调递增的函数是（ ）
A．y=|x|+1
B．y=x²+1
C．y=2^-|x|
D．y=-cos

3. 难度：中等

一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．2π+2
B．4π+2
C．2π+
D．4π+

4. 难度：中等

函数y=lnx在x=处的切线与坐标轴所围图形的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．2e

5. 难度：中等

若实数x，y满足则z=3^x+2y的最小值是（ ）
A．0
B．1
C．
D．9

6. 难度：中等

有四个关于三角函数的命题：
P₁：∃x∈R，sin²+cos²=；
P₂：∃x、y∈R，sin（x-y）=sinx-siny；
P₃：∀x∈[0，π]，=sinx；
P₄：sinx=cosy⇒x+y=．
其中假命题的是（ ）
A．P₁，P₄
B．P₂，P₄
C．P₁，P₃
D．P₂，P₄

7. 难度：中等

离散型随机变量X～B（n，p）且E（X）=3，D（X）=，则P（X-5）=（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为（n≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如=+，=+，=+，…，则第9行第4个数（从左往右数）为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

已知α是△ABC的一个内角，且cosa=-，则=    ．

10. 难度：中等

已知向量=（2，l），•=10，|+|=5，则||=    ．

11. 难度：中等

的展开式中x³的系数为10，则实数a=    ．

12. 难度：中等

如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是    ．

13. 难度：中等

如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点P（x，y）的轨迹方程是y=f（x），则f（x）的最小正周期为    ；y=f（x）在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为    ．

14. 难度：中等

如图，点A，B，C是圆O上的点，且，则∠AOB对应的劣弧长为    ．

15. 难度：中等

在极坐标系中，圆p=2上的点到直线p（cosθ）=6的距离的最小值是     ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅱ）求数列{2^a_n}的前n项和S_n．

17. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=acosC．
（1）求角C的大小；
（2）求sinA-cos（B+）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小．

18. 难度：中等

在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=，M，N分别为AB，SB的中点．
（Ⅰ）证明：AC⊥SB；
（Ⅱ）求二面角N-CM-B的余弦值．

19. 难度：中等

某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＞q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为

ξ		1	2	3
p		a	d

（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
（Ⅱ）求P，q的值；
（Ⅲ）求数学期望Eξ．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=alnx-bx²图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=-3x+2ln2+2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若方程f（x）+m=0在内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底数）；
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-kx，若g（x）的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）（其中x₁＜x₂），AB的中点为C（x，0），求证：g（x）在x处的导数g′（x）≠0．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁=b₁，且对任意n∈N^*都有a_n+b_n=1，．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）证明：．