2013-2014学年河北省邯郸市武安三中高三（上）第一次摸底数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合P={x|x²≤4}，M={a}，若P∪M=P，则a的取值范围为（ ）
A．（-∞，-2]
B．[2，+∞）
C．[-2，2]
D．R

2. 难度：中等

若复数z=m（m-1）+（m-1）（m-2）i是纯虚数，其中m是实数，i²=-1，则=（ ）
A．
B．-
C．
D．-

3. 难度：中等

函数f（x）=2lnx+x²-bx+a（b＞0，a∈R）在点（b，f（b））处的切线斜率的最小值是（ ）
A．
B．2
C．
D．1

4. 难度：中等

已知函数，则f（x）的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知向量满足，且，则在方向上的投影为（ ）
A．3
B．-3
C．
D．

6. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-2x²+2有唯一零点，则下列区间必存在零点的是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

一个体积为12的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为（ ）
A．6
B．8
C．8
D．12

8. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₂+a₈=15-a₅，则S₉的值为（ ）
A．60
B．45
C．36
D．18

9. 难度：中等

函数y=2^|x|-x²（x∈R）的图象为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（ ）
A．
B．
C．4
D．

11. 难度：中等

数列{a_n}是首项为1，且公比q＞0的等比数列，S_n是{a_n}的前n项和，若9S₃=S₆，则数列的前5项和为（ ）
A．
B．5
C．
D．

12. 难度：中等

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁内接于半径为1的球，则当该棱柱体积最大时，高h=（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

已知向量=（2，l），•=10，|+|=5，则||=    ．

14. 难度：中等

若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的取值范围    ．

15. 难度：中等

已知，则展开式中的常数项为    ．

16. 难度：中等

已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a=1，2cosC+c=2b，则△ABC的周长的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知锐角△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，定义向量，且．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）如果b=4，求△ABC的面积的最大值．

18. 难度：中等

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱与底面垂直，AB=BC=2AA₁，∠ABC=90°，M是BC中点．
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面AMC₁；
（Ⅱ）求直线CC₁与平面AMC₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）试问：在棱A₁B₁上是否存在点N，使AN与MC₁成角60°？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

甲、乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或下满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p（p＞），且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为．
（1）求p的值；
（2）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．

20. 难度：中等

已知椭圆，椭圆C₂以C₁的长轴为短轴，且与C₁有相同的离心率．
（1）求椭圆C₂的方程；
（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C₁和C₂上，，求直线AB的方程．

21. 难度：中等

已知函数（a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）当a=3时，求在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，求a的取值范围．

22. 难度：中等

如图，在正△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AD=AC，AE=AB，BD，CE相交于点F．
（I）求证：A，E，F，D四点共圆；
（Ⅱ）若正△ABC的边长为2，求，A，E，F，D所在圆的半径．

23. 难度：中等

在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），已知过点P（-2，-4）的直线L的参数方程为：，直线L与曲线C分别交于M，N．
（Ⅰ）写出曲线C和直线L的普通方程；    
（Ⅱ）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．

24. 难度：中等

已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a-1|的解集非空，求实数a的取值范围．