2011-2012学年广东省广州六中高三（上）第三次月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（1-x）的定义域为A，g（x）=的定义域为B，则A∩B=（ ）
A．（0，1]
B．[0，1]
C．（0，1]
D．[0，1）

2. 难度：中等

设{a_n}是等差数列，且a₇+a₈+a₉=15，则其前15项和S₁₅=（ ）
A．15
B．45
C．75
D．105

3. 难度：中等

已知平面向量与的夹角为60°，且满足（）=0，若=1，则=（ ）
A．2
B．
C．1
D．

4. 难度：中等

如图，M、N、P为正方体AC₁的棱AA₁、A₁B₁、A₁D₁的中点，现沿截面MNP切去锥体A₁-MNP，则剩余几何体的侧视图（左视图）为（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

若函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象（部分）如图所示，则ω和φ的取值是（ ）
A．ω=1，φ=
B．ω=1，φ=-
C．ω=，φ=
D．ω=，φ=-

6. 难度：中等

已知命题“若m=1，则直线（m+2）x+y+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0垂直”，则其否命题、逆命题、逆否命题中真命题共有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

7. 难度：中等

已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x²+y²-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

曲线f（x）=x³-x上任一点处的切线的倾斜角的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知函数若f（2-a²）＞f（a），则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，-1）∪（2，+∞）
B．（-1，2）
C．（-2，1）
D．（-∞，-2）∪（1，+∞）

10. 难度：中等

设集合M和N为平面中的两个点集，若存在点A∈M、B∈N，使得对任意的点A∈M、B∈N，均有|AB|≥|AB|，则称|AB|为点集M和N的距离，记为d（M，N）=|AB|．已知集合M={（x，y）|x²+（y-2）²≤1}，N={（x，y）}，则d（M，N）=（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

复数（i为虚数单位）的虚部为    ．

12. 难度：中等

已知a为直线，α，β为两个不同平面，给出下列语句：①a⊥α；②a⊥β；③α∥β．现以其中两个语句作为条件，余下一个作为结论构成的命题中真命题的个数为    ．

13. 难度：中等

设椭圆的焦点为F₁、F₂，以F₁F₂为直径的圆与椭圆的一个交点为P，若|F₁F₂|=2|PF₂|，则椭圆的离心率为    ．

14. 难度：中等

已知函数，则=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知平面直角坐标系中，A（cosx，sinx），B（1，1），，f（x）=||²．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和对称中心；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，2π]上的单调递增区间．

16. 难度：中等

已知圆C的圆心在直线y=2x上，且与直线l：x+y+1=0相切于点P（-1，0）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若A（1，0），点B是圆C上的动点，求线段AB中点M的轨迹方程，并说明表示什么曲线．

17. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=1，CC₁=2，点D、E分别是AA₁、CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：AE∥平面BC₁D；
（Ⅱ）证明：平面BC₁D⊥平面BCD；
（Ⅲ）求多面体A₁B₁C₁BD的体积V．

18. 难度：中等

已知α∈R且α＜0，设函数f（x）=ax²+x-3alnx．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=-1时，证明：f（x）≤2x-2．

19. 难度：中等

椭圆的一个焦点F与抛物线y²=4x的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，倾斜角为45°的直线l过点F．
（Ⅰ）求该椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的另一个焦点为F₁，问抛物线y²=4x上是否存在一点M，使得M与F₁关于直线l对称，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

已知数列满足：，其中．
（1）当时，求{a_n}的通项公式；
（2）在（1）的条件下，若数列{b_n}中，，且b₁=1．求证：对于恒成立；
（3）对于，设{a_n}的前n项和为S_n，试比较S_n+2与的大小．