2012-2013学年重庆市南开中学高三（下）3月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若i为虚数单位，则复数=（ ）
A．i
B．-i
C．
D．-

2. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，已知a₁=2，a₂+a₃=13，则公差d等于（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

3. 难度：中等

某校有50岁以上的老教师40人，35～50的中年教师200人，35岁以下的青年教师80人，为了调查教师对教代会制定的一项规章制度的满意度，准备抽出80人进行问卷调查，则中年教师应抽取的人数为（ ）
A．50
B．40
C．30
D．20

4. 难度：中等

若双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

在△ABC中，“”是“A=30”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

某实心机器零件的三视图如图所示，该机器零件的体积为（ ）

A．36+2π
B．36+4π
C．36+8π
D．36+10π

7. 难度：中等

执行如图所示程序框图，则输出的s=（ ）

A．-2013
B．2013
C．-2012
D．2012

8. 难度：中等

在△ABC中，已知的面积等于3，则cosA的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

对于函数f（x）和g（x），设α∈{x∈R|f（x）=0}，β∈{x∈R|g（x）=0}，若存在α、β，使得|α-β|≤1，则称f（x）与g（x）互为“零点关联函数”．若函数f（x）=e^x-1+x-2与g（x）=x²-ax-a+3互为“零点关联函数”，则实数a的取值范围为（ ）
A．
B．
C．[2，3]
D．[2，4]

10. 难度：中等

假设乒乓球团体比赛的规则如下：进行5场比赛，除第3场为双打外，其余各场为单打，参赛的每个队选出3名运动员参加比赛，每个队员打两场，且第1、2场与第4、5场不能是某个运动员连续比赛．某队有4名乒乓球运动员，其中A不适合双打，则该队教练安排运动员参加比赛的方法共有（ ）种．
A．48
B．56
C．60
D．72

二、填空题

11. 难度：中等

（x-1）⁴的展开式中二项式系数最大的项为    ．

12. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，随机地从不等式组表示的平面区域Ω中取一个点P，如果点P恰好在不等式组表示的平面区域的概率为，则实数m的值为    ．

13. 难度：中等

设点P是抛物线C：x²=2py（p＞0）在第一象限内的任意一点，过P作抛物线C的切线l交x轴于点M，F为抛物线C的焦点，点Q满足，若△PFQ是面积为的等边三角形，则p的值为    ．

14. 难度：中等

如图所示，过圆外一点P分别做圆的切线和割线交圆于点A和点B，且PB=3，C是圆上一点，BC=2，∠BAC=∠APB，则AB=    ．

15. 难度：中等

若存在实数x满足|x-3|-|x+m|＞5，则实数m的取值范围为    ．

16. 难度：中等

设曲线C的参数方程为，直线l的参数方程为，则曲线C上到直线l的距离为3的点有    个．

三、解答题

17. 难度：中等

某电视台举办的技能比赛节目中，每位参赛选手需参加两场比赛，两场比赛都胜出获得10万现金；若只胜一场，则奖励5万；两场都失利则无奖金．设甲选手每场比赛胜利的概率都为且两场比赛之间相互独立，用ξ表示甲选手比赛结束后的奖金总额．
（I）求比赛结束后甲选手只胜一场的概率；
（Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=2sinxcos（x+）-cos2x+m．
（I）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当x∈[-，]时，函数f（x）的最小值为-3，求实数m的值．

19. 难度：中等

如图，等腰直角三角形SAB所在平面与直角梯形ABCD所在平面垂直，且AB∥CD，DA⊥AB，AD=2，CD=4，E、F分别是线段SC、CD的中点．
（I）求证：平面BEF∥平面SAD；
（Ⅱ）求二面角S-BD-F的余弦值．

20. 难度：中等

已知f（x）=ax-lnx（x∈（0，e]），其中e是自然常数，a∈R
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

已知椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为，P为椭圆上一动点．F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，且△PF₁F₂面积的最大值为．
（I）求椭圆C的方程；
（II）设直线l与圆x²+y²=1相切且与椭圆C相交于A、B两点，求的取值范围．

22. 难度：中等

已知数列{a_n}中的相邻两项a_2k-1，a_2k是关于x的方程x²-（3k+2^k）x+3k•2^k=0的两个根，且a_2k-1≤a_2k（k=1，2，3，…）．
（I）求a₁，a₃，a₅，a₇；
（II）求数列{a_n}的前2n项和S_2n；
（Ⅲ）记，，求证：．