2012-2013学年浙江省衢州市江山实验中学高二（下）5月月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设x，y∈R，则“x=0”是“复数x+yi为纯虚数”的（ ）条件．
A．充分而不必要
B．必要而不充分
C．充分必要
D．既不充分也不必要

2. 难度：中等

曲线y=x³-2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°

3. 难度：中等

以抛物线y²=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（ ）
A．x²+y²+2x=0
B．x²+y²+x=0
C．x²+y²-x=0
D．x²+y²-2x=0

4. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体（ ）

A．外接球的半径为
B．体积为
C．表面积为
D．外接球的表面积为

5. 难度：中等

若复数z=（a²+2a-3）+（a+3）i为纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值是（ ）
A．-3
B．-3或1
C．3或-1
D．1

6. 难度：中等

已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．或
D．或7

7. 难度：中等

已知b＞0，直线（b²+1）x+ay+2=O与直线x-b²y-1=O互相垂直，则ab的最小值等于（ ）
A．1
B．2
C．
D．

8. 难度：中等

若实数x，y 满足：+=1，则x+y+10的取值范围是（ ）
A．[5，15]
B．[10，15]
C．[-15，10]
D．[-15，35]

9. 难度：中等

已知动点P（x，y）在椭圆上，若A点坐标为（3，0），，且，则的最小值是（ ）
A．
B．
C．2
D．3

10. 难度：中等

函数f（x）=++cx+d（a＜b）在R上单调递增，则的最小值为（ ）
A．1
B．3
C．4
D．9

二、填空题

11. 难度：中等

计算：12×|3+4i|-10×（i²⁰¹⁰+i²⁰¹¹+i²⁰¹²+i²⁰¹³）=    ．（其中i为虚数单位）

12. 难度：中等

曲线y=xe^x+2x+1在点（0，1）处的切线方程为    ．

13. 难度：中等

已知抛物线y²=4x的焦点为F，且抛物线与2x+y-4=0交于A、B两点，则|FA|+|FB|=    ．

14. 难度：中等

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，BC=2，AC=，AA₁=3，M为线段BB₁上的一动点，则当AM+MC₁最小时，△AMC₁的面积为    ．

15. 难度：中等

已知双曲线=1的左、右焦点分别为F₁、F₂，过右焦点F₂的直线l交双曲线的右支于A、B两点，若|AB|=5，则△ABF₁的周长为    ．

16. 难度：中等

已知F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点，F为双曲线上的一点，若∠F₁PF₂=90°，且△F₁PF₂的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是    ．

17. 难度：中等

下列命题：
①若f（x）存在导函数，则f′（2x）=[f（2x）]′；
②若函数h（x）=cos⁴x-sin⁴x，则h′（）=0；
③若函数g（x）=（x-1）（x-2）（x-3）…（x-2012）（x-2013），则g′（2013）=2012!；
④若三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，则“a+b+c=0”是“f（x）有极值点”的充要条件；
⑤函数f（x）=的单调递增区间是（2π-，2kπ+）（k∈z）．
其中真命题为    ．

三、解答题

18. 难度：中等

命题p：关于x的不等式x²+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立，命题q：函数f（x）=（3-2a）^x是增函数，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

设f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1处有极小值-1，试求a、b的值，并求出f（x）的单调区间．

20. 难度：中等

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为平行四边形，且AD=2，AB=AA₁=3，∠BAD=60°，E为AB的中点．
（Ⅰ）证明：AC₁∥平面EB₁C；
（Ⅱ）求直线ED₁与平面EB₁C所成角的正弦值．

21. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xoy中，设点F（0，p）（p＞0），直线l：y=-p，点p在直线l上移动，R是线段PF与x轴的交点，过R、P分别作直线l₁、l₂，使l₁⊥PF，l₂⊥l l₁∩l₂=Q．
（Ⅰ）求动点Q的轨迹C的方程；
（Ⅱ）在直线l上任取一点M做曲线C的两条切线，设切点为A、B，求证：直线AB恒过一定点；
（Ⅲ）对（Ⅱ）求证：当直线MA，MF，MB的斜率存在时，直线MA，MF，MB的斜率的倒数成等差数列．

22. 难度：中等

已知函数．
（1）如果a＞0，函数在区间上存在极值，求实数a的取值范围；
（2）当x≥1时，不等式恒成立，求实数k的取值范围．