2013-2014学年广东省珠海市高三（上）开学摸底数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x＞1}，B={x|x²-2x＜0}，则A∪B=（ ）
A．{x|x＞0}
B．{x|x＞1}
C．{x|1＜x＜2}
D．{x|0＜x＜2}

2. 难度：中等

复数=（ ）
A．1+i
B．1-i
C．1
D．i

3. 难度：中等

下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数为（ ）
A．y=x^-1
B．y=log₂
C．y=|x|
D．y=-x²

4. 难度：中等

在△ABC中，“A=60°”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

如图，在△ABC中，点D是BC边上靠近B的三等分点，则=（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值为（ ）
A．-14
B．-15
C．-16
D．-17

7. 难度：中等

一简单组合体的三视图及尺寸如图（1）示（单位：cm）则该组合体的体积为．（ ）

A．72000cm³
B．64000cm³
C．56000cm³
D．44000cm³

8. 难度：中等

对于函数y=f（x），如果存在区间[m，n]，同时满足下列条件：
①f（x）在[m，n]内是单调的；
②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．
则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．若函数f（x）=存在“和谐区间”，则a的取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．（0，2）
C．（）
D．（1，3）

二、填空题

9. 难度：中等

不等式|3x+1|-|x-1|＜0的解集是    ．

10. 难度：中等

在二项式（x²-）⁵的展开式中，含x项的系数是-80，则实数a的值为    ．

11. 难度：中等

设等比数列{a_n}的公比q=2，前n项和为S_n，则=    ．

12. 难度：中等

直线y=-x+b是函数f（x）=的切线，则实数b=    ．

13. 难度：中等

在△ABC中，AB=2，AC=2，C=60°，则BC=    ．

14. 难度：中等

（几何证明选做题）
如图圆O的直径AB=6，P是AB的延长线上一点，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA=30°，则PC=    ．

15. 难度：中等

（极坐标选做题）
极坐标系中，曲线ρ=-4cosθ上的点到直线ρ（cosθ+sinθ）=8的距离的最大值是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=cos²x+sinxcosx．
（1）求f（x）的最小正周期和最小值；
（2）若α∈（，）且f（α+）=，求cosα的值．

17. 难度：中等

某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件，其中有A、B、C三种软件投入使用，经一学年使用后，团队调查了这个专业大一四个班的使用情况，从各班抽取的样本人数如下表：

班级	一	二	三	四
人数	3	2	3	4

（1）从这12人中随机抽取2人，求这2人恰好来自同一班级的概率；
（2）从这12名学生中，指定甲、乙、丙三人为代表，已知他们下午自习时间每人选择一款软件，其中选A、B两个软件学习的概率都是，且他们选择A、B、C任一款软件都是相互独立的．设这三名学生中下午自习时间选软件C的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

18. 难度：中等

在边长为4cm的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，重合后的点记为B，构成一个三棱锥．
（1）请判断MN与平面AEF的位置关系，并给出证明；
（2）证明AB⊥平面BEF；
（3）求二面角M-EF-B的余弦值．

19. 难度：中等

若正数项数列{a_n}的前n项和为Sn，首项a₁=1，点P（，S_n+1）在曲线y=（x+1）²上．
（1）求a₂，a₃；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）设b_n=，Tn表示数列{b_n}的前项和，若Tn≥a恒成立，求Tn及实数a的取值范围．

20. 难度：中等

已知点A、B的坐标分别是（0，-1）、（0，1），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为-．
（1）求点M轨迹C的方程；
（2）若过点D（0，2）的直线l与（1）中的轨迹C交于不同的两点E、F，试求△OEF面积的取值范围（O为坐标原点）．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=+lnx（x＞0）．
（1）当a=1时，求f（x）在[，2]上的最小值；
（2）若函数f（x）在[，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；
（3）若关于x的方程1-x+2xlnx-2mx=0在区间[，e]内恰有两个相异的实根，求实数m的取值范围．