2005-2006学年北京市首师大附中高二（下）期末数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知映射f：A→B，其中A=B=R，对应法则：f：x→y=x²-2x+2若对实数k∈B，在集合A中不存在原象，则k的取值范围是（ ）
A．k≤1
B．k＜1
C．k≥1
D．k＞1

2. 难度：中等

如图，函数y=f（x）的图象是中心在原点、焦点在x轴上的椭圆的两段弧，则不等式f（x）＜f（-x）+x的解集为（ ）
A．{x|-＜x＜0或＜x≤2}
B．{x|-2≤x＜-或＜x≤2}
C．{x|-2≤x＜-或＜x≤2}
D．{x|-＜x＜，且x≠0}

3. 难度：中等

已知，则sin2x的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知，||=2，与的夹角为60°，如果（3+5）⊥（m-），则m的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

等差数列{a_n}中，若a₄+a₆+a₈+a₁₀+a₁₂=120，则a₉-的值是（ ）
A．14
B．15
C．16
D．17

6. 难度：中等

若a、b、c是常数，则“a＞0且b²-4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax²+bx+c＞0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

锐角△ABC中，若A=2B，则的取值范围是（ ）
A．（1，2）
B．（1，）
C．（，2）
D．（，）

8. 难度：中等

关于x的方程（x²-1）²-|x²-1|+k=0，给出下列四个命题：
①存在实数k，使得方程恰有3个不同的实根；
②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数k，使得方程恰有6个不同的实根；
其中假命题的个数是（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0

二、填空题

9. 难度：中等

已知点C在线段AB的延长线上，且，则λ=    ．

10. 难度：中等

函数y=cos²x+sinxcosx的值域为    ．

11. 难度：中等

=    ．

12. 难度：中等

定义一种运算“*”对于正整数满足以下运算性质：
（1）2*2006=1；（2）（2n+2）*2006=3•[（2n）*2006]，则2008*2006的值是    ．

13. 难度：中等

已知函数，给出下列命题：
（1）函数图象关于点（1，1）对称；
（2）函数图象关于直线y=2-x对称；
（3）函数在定义域内单调递减；
（4）将函数图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位后与的图象重合．
其中正确的命题是    （写出所有正确命题的序号）．

14. 难度：中等

如图①，②，③，…是由花盆摆成的图案，根据图中花盆摆放的规律，猜想第n个图形中花盆的盆数a_n=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），．
（1）若，求角α的值；
（2）若，求的值．

16. 难度：中等

设数列{a_n}前n的项和为 S_n，且（3-m）S_n+2ma_n=m+3（n∈N*）．其中m为常数，m≠-3且m≠0
（1）求证：{a_n}是等比数列；
（2）若数列{a_n}的公比满足q=f（m）且为等差数列，并求b_n．

17. 难度：中等

已知（x＞1），
（1）若，求g（x）的最小值；
（2）若不等式对于一切恒成立，求实数m的取值范围．

18. 难度：中等

已知A、B、C是三角形的三个内角
（Ⅰ）若满足3sinB-sin（2A+B）=0，，求角C的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当c=时求a²+b²的最小值．

19. 难度：中等

已知点P_n（a_n，b_n）都在直线l：y=2x+2上，P₁为直线l与x轴的交点，数列{a_n}成等差数列，公差为1（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若f（n）=（m∈Z），问是否存在k∈N^*，使得f（k+5）=2f（k）-2成立？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由；
（Ⅲ）求证：（n≥2，n∈N^*）．

20. 难度：中等

设函数f（x）=ax³-2bx²+cx+4d （a、b、c、d∈R）图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值-．
（1）求a、b、c、d的值；
（2）当x∈[-1，1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？证明你的结论；
（3）若x₁，x₂∈[-1，1]时，求证：|f（x₁）-f（x₂）|≤．