2012-2013学年辽宁省铁岭市开原市高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列命题中，真命题是（ ）
A．∀x∈R，x＞0
B．如果x＜2，那么x＜1
C．∃x∈R，x²≤-1
D．∀x∈R，使x²+1≠0

2. 难度：中等

下列式子正确的是（ ）
A．²=•
B．||≤||•||
C．||=
D．=

3. 难度：中等

已知A（4，1，3）、B（2，-5，1），C为线段AB上一点，且=3，则C的坐标为（ ）
A．（，-，）
B．（，-3，2）
C．（，-1，）
D．（，-，）

4. 难度：中等

已知全集U=R，若函数f（x）=x²-3x+2，集合M={x|f（x）≤0}，N={x|f′（x）＜0}，则M∩C_UN=（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知空间两个动点A（m，1+m，2+m），B（1-m，3-2m，3m），则||的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

函数f（x）=e^xcosx的图象在点（0，f（0））处的切线倾斜角的余弦值为（ ）
A．-
B．
C．
D．1

7. 难度：中等

集合A={x|}，B={x||x-b|＜a}，若a=1是A∩B≠∅的充分条件，则b的取值范围可以是（ ）
A．-2≤b＜0
B．0＜b≤2
C．-3＜b＜-1
D．-2＜b＜2

8. 难度：中等

已知椭圆的焦点是F₁、F₂，P是椭圆上的一个动点，如果延长F₁P到Q，使得|PQ|=|PF₂|，那么动点Q的轨迹是（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线的一支
D．抛物线

9. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，则BC₁与平面BB₁D₁D所成角的余弦值为 
（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

点P在双曲线：（a＞0，b＞0）上，F₁，F₂是这条双曲线的两个焦点，∠F₁PF₂=90°，且△F₁PF₂的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

11. 难度：中等

设f （x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（-3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（ ）
A．（-3，0）∪（3，+∞）
B．（-3，0）∪（0，3）
C．（-∞，-3）∪（3，+∞）
D．（-∞，-3）∪（0，3）

12. 难度：中等

已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y²=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

曲线在点（1，1）处的切线方程为    ．

14. 难度：中等

已知不等式|x-m|＜1成立的充分不必要条件是＜x＜，则m的取值范围是    

15. 难度：中等

已知动点P与双曲线-=1的两个焦点F₁、F₂的距离之和为定值，且cos∠F₁PF₂的最小值为-，则动点P的轨迹方程为    ．

16. 难度：中等

如图，在三棱锥S-ABC中，设P、Q为底面△ABC内的两点，且
=+，=，则V_S-ABP：V_S-ABQ=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

设p：关于x的不等式a^x＞1的解集是{x|x＜0}；q：函数y=lg（ax²-x+a）的定义域为R，如果P、q中有且只有一个正确，求a的取值范围．

18. 难度：中等

已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB=4，AD=3，AA′=5，∠BAD=90°，∠BAA′=∠DAA′=60°，
（1）求AC′的长；（如图所示）
（2）求与的夹角的余弦值．

19. 难度：中等

已知直线l₁为曲线y=x²+x-2在点（1，0）处的切线，l₂为该曲线的另一条切线，且l₁⊥l₂．
（Ⅰ）求直线l₂的方程；
（Ⅱ）求由直线l₁、l₂和x轴所围成的三角形的面积．

20. 难度：中等

如图，椭圆=1（a＞b＞0）与过A（2，0），B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
（1）求椭圆方程；
（2）设F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF₂的中点，求tan∠ATM．

21. 难度：中等

如图所示，正四棱锥P-ABCD中，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为．
（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；
（2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；
（3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由．

22. 难度：中等

如图，M是抛物线上y²=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB．
（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；
（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程．