2013-2014学年广西桂林十八中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁_U（A∪B）=（ ）
A．{1，3，4}
B．{3，4}
C．{3}
D．{4}

2. 难度：中等

已知a是实数，是纯虚数，则a等于（ ）
A．-1
B．1
C．
D．

3. 难度：中等

已知双曲线C：的离心率为，则C的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．y=±

4. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y-2x的最小值为（ ）
A．-7
B．-4
C．1
D．2

5. 难度：中等

若展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为（ ）
A．-84
B．84
C．-36
D．36

6. 难度：中等

反函数是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知点A（1，3），B（4，-1），则与向量同方向的单位向量为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=（n∈N^*），则a₄=（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA₁=12，则球O的半径为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

设F为抛物线C：y²=4x的焦点，过点P（-1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于（ ）
A．
B．1
C．±1
D．不存在

12. 难度：中等

f（x），g（x）（g（x）≠0）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0，f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＜0且的解集为（ ）
A．（-2，0）∪（2，+∞）
B．（-2，0）∪（0，2）
C．（-∞，-2）∪（2，+∞）
D．（-∞，-2）∪（0，2）

二、填空题

13. 难度：中等

设sin2α=-sinα，，则tan2α的值是    ．

14. 难度：中等

函数f（x）=e^xsinx（x∈（0，2π））的极值点是    ．

15. 难度：中等

将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是    ．

16. 难度：中等

如图，矩形ABCD中，DC=，AD=1，在DC上截取DE=1，将△ADE沿AE翻折到D₁点，点D₁在平面ABC上的射影落在AC上时，二面角D₁-AE-B的平面角的余弦值是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB=．
（Ⅰ）求a，c的值；     
（Ⅱ）求△ABC的面积．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}，{b_n}分别为等差和等比数列，且a₁=1，d＞0，a₂=b₂，a₅=b₃，a₁₄=b₄（n∈N^*）．
（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和．

19. 难度：中等

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为平行四边形，且AD=2，AB=AA₁=4，∠BAD=60°，E为AB的中点．
（Ⅰ）证明：AC₁∥平面EB₁C；
（Ⅱ）求直线ED₁与平面EB₁C所成角．

20. 难度：中等

在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．
（Ⅰ） 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
（Ⅱ） X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望．

21. 难度：中等

已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），且椭圆C经过点P（，）．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）过点F₂的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．

22. 难度：中等

设函数f（x）=ln．
（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）求证：当n∈N^*且n≥2时，．