2004-2005学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U=R，A={}，则∁_UA=（ ）
A．
B．{x|x＞0}
C．{x|x≥0}
D．

2. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，若a₂=-5，a₆=a₄+6，则a₁等于（ ）
A．-4
B．-5
C．-7
D．-8

3. 难度：中等

函数y=-（x≠-1）的反函数是（ ）
A．y=--1（x≠0）
B．y=-+1（x≠0）
C．y=-x+1（x∈R）
D．y=-x-1（x∈R）

4. 难度：中等

若||=，||=2且（-）⊥，则与的夹角是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

若m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且m⊥α，n⊥β，则下列命题中的假命题是（ ）
A．若m∥n，α∥β
B．α⊥β，则m⊥n
C．若α、β相交，则m、n相交
D．若m、n相交，则α、β相交

6. 难度：中等

箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

如果三位数的十位数字既大于百位数字也大于个位数字，则这样的三位数一共有（ ）
A．240个
B．285个
C．231个
D．243个

8. 难度：中等

以正方形ABCD的相对顶点A、C为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

把y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数    的图象；再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数    的图象．

10. 难度：中等

已知直线l₁：x-2y+3=0，那么直线l₁的方向向量为    ；l₂过点（1，1），并且l₂的方向向量与方向向量满足•=0，则l₂的方程为    ．

11. 难度：中等

设实数x、y满足则z=x+y的最大值是    ．

12. 难度：中等

若地球半径为R，地面上两点A、B的纬度均为北纬45°，又A、B两点的球面距离为R，则A、B两点的经度差为    ．

13. 难度：中等

定义“符号函数”f（x）=sgnx=则不等式x+2＞（x-2）^sgnx的解集是     ．

14. 难度：中等

某网络公司，1996年的市场占有率为A，根据市场分析和预测，该公司自1996年起市场占有率逐年增加，其规律如图所示：

则该公司1998年的市场占有率为    ；如果把1996年作为第一年，那么第n年的市场占有率为   
．

三、解答题

15. 难度：中等

已知：tan=2，求：
（1）tanα的值；
（2）sin2α+sin²α的值．

16. 难度：中等

某电路中有红灯、绿灯各一只，当开关闭合后，便有红灯和绿灯闪动，并且每次有且仅有一只灯亮，设第一次出现红灯和绿灯的概率相等，从第二次起，前次出现红灯后接着出现红灯的概率是，前次出现绿灯后接着出现红灯的概率是．求：
（I）第二次出现红灯的概率；
（Ⅱ）三次发光，红灯出现一次，绿灯出现两次的概率．

17. 难度：中等

已知在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是D₁D、BD的中点，G在棱CD上，且CG=CD．
（I）求证：EF⊥B₁C；
（Ⅱ）求EF与C₁G所成角的余弦值；
（Ⅲ）求二面角F-EG-C₁的大小（用反三角函数表示）．

18. 难度：中等

函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x₁、x₂∈D，有f=f（x₁）+f（x₂）．
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x-6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围．

19. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b_n}的第二项、第三项、第四项．
（I）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c_n}对任意正整数n均有+++…+=（n+1）a_n+1成立，其中m为不等于零的常数，求数列{c_n}的前n项和S_n．

20. 难度：中等

已知常数a＞0，向量=（0，a），=（1，0）经过定点A（0，-a）以+为方向向量的直线与经过定点B（0，a）以+2为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R．
（I）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若a=，过E（0，1）的直线l交曲线C于M、N两点，求•的取值范围．