2009-2010学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U=R，集合A={x|x²-2x＜0}，B={x|x＞1}，则集合A∩C_UB=（ ）
A．{x|1＜x＜2}
B．{x|1≤x＜2}
C．{x|0＜x＜1}
D．{x|0＜x≤1}

2. 难度：中等

下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A．y=e^x
B．y=sin
C．y=-x³
D．

3. 难度：中等

右图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．6
B．8
C．16
D．24

4. 难度：中等

若向量，满足||=||=1，且•+•=，则向量，的夹角为（ ）
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°

5. 难度：中等

关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是（ ）
A．若l∥α，α∩β=m，则l∥m
B．若l∥α，m∥α，则l∥m
C．若l⊥α，l∥β，则α⊥β
D．若l∥α，m⊥l，则m⊥α

6. 难度：中等

执行如图所示的程序，输出的结果为48，对判断框中应填入的条件为（ ）

A．i≥4
B．i＞4
C．i≥6
D．i＞6

7. 难度：中等

已知0＜a＜b＜1，设，，z=log_ab，则（ ）
A．y＜x＜z
B．y＜z＜
C．x＜z＜y
D．x＜y＜z

8. 难度：中等

若椭圆或双曲线上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为2：1，则称此椭圆或双曲线存在“F点”，下列曲线中存在“F点”的是（ ）
A．
B．
C．
D．x²-y²=1

二、填空题

9. 难度：中等

设i为虚数单位，则复数=    ．

10. 难度：中等

的展开式中的常数项为    ．

11. 难度：中等

若直线x-y+1=0与圆x²+y²-2x+1-a=0相切，则a=    ．

12. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a=1，，，则sinA=    ．

13. 难度：中等

将编号为1、2、3的三个小球，放入编号为1、2、3、4的四个盒子中如果每个盒子中最多放一个球，那么不同的放球方法有    种；如果4号盒子中至少放两个球，那么不同的放球方法有    种．

14. 难度：中等

无穷等差数列{a_n}的各项均为整数，首项为a₁、公差为d，S_n是其前n项和，3、21、15是其中的三项，给出下列命题；
①对任意满足条件的d，存在a₁，使得99一定是数列{a_n}中的一项；
②对任意满足条件的d，存在a₁，使得30一定是数列{a_n}中的一项；
③存在满足条件的数列{a_n}，使得对任意的n∈N^*，S_2a=4S_n成立．
其中正确命题为    ．（写出所有正确命题的序号）

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；
（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．

16. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M、N分别为PA、BC的中点，PD⊥平面ABCD，且PD=AD=，CD=1．
（1）证明：MN∥平面PCD；
（2）证明：MC⊥BD；
（3）求二面角A-PB-D的余弦值．

17. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²（n∈N^*），数列{b_n}为等比数列，且满足b₁=a₁，2b₃=b₄
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和．

18. 难度：中等

设a＞0，函数．
（1）若曲线y=f（x）在（2，f（2））处切线的斜率为-1，求a的值；
（2）求函数f（x）的极值点．

19. 难度：中等

已知抛物线C：y²=4x，直线l：y=kx+b与C交于A，B两点，O为坐标原点．
（1）当k=1，且直线l过抛物线C的焦点时，求|AB|的值；
（2）当直线OA，OB的倾斜角之和为45°时，求k，b之间满足的关系式，并证明直线l过定点．

20. 难度：中等

已知曲线C：xy=1，过C上一点A₁（x₁，y₁）作斜率k₁的直线，交曲线C于另一点A₂（x₂，y₂），再过A₂（x₂，y₂）作斜率为k₂的直线，交曲线C于另一点A₃（x₃，y₃），…，过A_n（x_n，y_n）作斜率为k_n的直线，交曲线C于另一点A_n+1（x_n+1，y_n+1）…，其中x₁=1，
（1）求x_n+1与x_n的关系式；
（2）判断x_n与2的大小关系，并证明你的结论；
（3）求证：|x₁-2|+|x₂-2|+…+|x_n-2|＜2．