2011-2012学年湖北省荆门市高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数，则z²等于（ ）
A．2i
B．-2i
C．-2-2i
D．-2+2i

2. 难度：中等

若抛物线y²=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为（ ）
A．-2
B．2
C．-4
D．4

3. 难度：中等

“x²-5x+4＜0”是“|x-2|＜1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

不等式|x+3|-|x-1|≤a²-3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．（-∞，-1]∪[4，+∞）
B．（-∞，-2]∪[5，+∞）
C．[1，2]
D．（-∞，1]∪[2，+∞）

5. 难度：中等

设x＞0，y＞0，M=，N=，则M，N的大小关系是（ ）
A．M=N
B．M＜N
C．M＞N
D．不能确定

6. 难度：中等

一质点运动时速度与时间的关系为v（t）=t²-t+2，质点作直线运动，则此物体在时间[1，2]内的位移为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

凸n边形有f（n）条对角线，则凸n+1边形有对角线条数f（n+1）为（ ）
A．f（n）+n+1
B．f（n）+n
C．f（n）+n-1
D．f（n）+n-2

8. 难度：中等

椭圆上的点到直线的最大距离是（ ）
A．3
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（1）=0，当x＞0时有，则不等式xf（x）＞0的解集为（ ）
A．（-1，0）
B．（-1，0）∪（1，+∞）
C．（1，+∞）
D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

10. 难度：中等

椭圆的左右焦点分别为F₁，F₂，弦AB过F₁，若△ABF₂的内切圆周长为π，A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则|y₁-y₂|值为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

双曲线9x²-y²=-1的渐近线方程为    ．

12. 难度：中等

函数y=f（x）的图象在点P（5，f（5））处的切线方程是y=-x+8，则f（5）+f′（5）=    ．

13. 难度：中等

5个人各拿一只水桶到水龙头旁等待接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别是4分钟，8分钟，6分钟，10分钟，5分钟，如果要将所有的水桶都装满，则他们等待的总时间最少为    分钟．

14. 难度：中等

在△ABC中，不等式成立；在四边形ABCD中，不等式成立；在五边形ABCDE中，不等式成立…，依此类推，在n边形A₁A₂…A_n中，不等式    成立．

15. 难度：中等

已知A（-1，0），B（1，0），设M（x，y）为平面内的动点，直线AM，BM的斜率分别为k₁，k₂，
①若，则M点的轨迹为直线x=-3（除去点（-3，0））
②若k₁•k₂=-2，则M点的轨迹为椭圆（除去长轴的两个端点）
③若k₁•k₂=2，则M点的轨迹为双曲线
④若k₁+k₂=2，则M点的轨迹方程为：（x≠±1）
⑤若k₁-k₂=2，则M点的轨迹方程为：y=-x²+1（x≠±1）
上述五个命题中，正确的有    （把所有正确命题的序号都填上）．

三、解答题

16. 难度：中等

已知p：x∈A={x|x²-2x-3≤0，x∈R}，q：x∈B={x|x²-2mx+m²-9≤0，x∈R，m∈R}．
（1）若A∩B=[1，3]，求实数m的值；
（2）若p是¬q的充分条件，求实数m的取值范围．

17. 难度：中等

（Ⅰ）已知a，b∈R且a＞0，b＞0，求证：；
（Ⅱ）求函数（0＜x＜1）的最小值．

18. 难度：中等

如图，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=．
（1）求SC与平面ASD所成的角余弦；
（2）求平面SAB和平面SCD所成角的余弦．

19. 难度：中等

从边长为2a的正方形铁皮的四个角各截去一个边长为x的小正方形，再将四边向上折起，做成一个无盖的长方体铁盒，且要求长方体的高度x与底面正方形的边长的比不超过常数t．问：
（1）求长方体的容积V关于x的函数表达式；
（2）x取何值时，长方体的容积V有最大值？

20. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求的取值范围；
（3）若B点在于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．

21. 难度：中等

设函数f（x）=x-（x+1）ln（x+1）（x＞-1）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）证明：当n＞m＞0时，（1+n）^m＜（1+m）ⁿ；
（Ⅲ）证明：当n＞2012，且x₁，x₂，x₃，…，x_n∈R₊，x₁+x₂+x₃+…+x_n=1时，
（1）…
（2）…．