2012-2013学年辽宁省大连市高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设x是实数，则“x＞0”是“|x|＞0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

若抛物线y²=-4x上一点P到y轴的距离是5，则点P到该抛物线焦点的距离是（ ）
A．4
B．6
C．8
D．12

3. 难度：中等

已知向量=（-3，2），=（x，-4），若∥，则x=（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7

4. 难度：中等

若双曲线方程为4x²-5y²=20，则它的右焦点坐标为（ ）
A．（1，0）
B．（0，1）
C．（3，0）
D．（0，3）

5. 难度：中等

函数y=cosx的一个单调递增区间为（ ）
A．
B．（0，π）
C．
D．（π，2π）

6. 难度：中等

若m和n满足mn=1，则3m+n的最小值是（ ）
A．2
B．2
C．2
D．

7. 难度：中等

下列说法错误的是（ ）
A．命题：“已知f（x）是R上的增函数，若a+b≥0，则f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）”的逆否命题为真命题
B．“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件
C．若p且q为假命题，则p、q均为假命题
D．命题p：“∃x∈R，使得x²+x+1＜0”，则  p：“∀x∈R，均有x²+x+1≥0”

8. 难度：中等

函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象的一部分如图所示，则ω、φ的值分别为（ ）

A．1，
B．2，
C．1，-
D．2，-

9. 难度：中等

已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件则目标函数z=2x+4y的最大值为（ ）
A．10
B．12
C．13
D．14

11. 难度：中等

已知双曲线的两个焦点为F₁（-，0）、F₂（，0），M是此双曲线上的一点，且满足•=0，||•||=2，则该双曲线的方程是（ ）
A．-y²=1
B．x²-=1
C．-=1
D．-=1

12. 难度：中等

定义函数，
给出下列四个命题：
（1）该函数的值域为[-1，1]；
（2）当且仅当时，该函数取得最大值；
（3）该函数是以π为最小正周期的周期函数；
（4）当且仅当时，f（x）＜0．
上述命题中正确的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

二、填空题

13. 难度：中等

等差数列{a_n}中，a₂=2，a₁₄=18，则a₈的值为    ．

14. 难度：中等

如图，在平面四边形ABCD中，若AC=3，BD=2，则=    ．

15. 难度：中等

设F₁、F₂分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足PF₂=F₁F₂，且F₂到直线PF₁的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为    ．

16. 难度：中等

已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

解关于x的不等式（1-ax）²＜1．

18. 难度：中等

已知函数的最小正周期为π
（1）求f（x）；
（2）当时，求函数f（x）的值域．

19. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边长，已知cos2A+3cosA-2=0．
（Ⅰ）若a²-c²=b²-mbc，求实数m的值；
（Ⅱ）若a=，求△ABC面积的最大值．

20. 难度：中等

数列{a_n}的前N项和为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和T．

21. 难度：中等

已知抛物线C：y²=2Px（p＞0）上横坐标为4的点到焦点的距离为5．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设直线y=kx+b（k≠0）与抛物线C交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且|y₁-y₂|=a（a＞0），求证：a²=．

22. 难度：中等

若椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴的一个端点与左右焦点F₁、F₂组成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F₂作直线l与椭圆C交于A、B两点，线段AB的中点为M，求直线MF₁的斜率k的取值范围．