2012-2013学年北京市西城区（南区）高二（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若p∨q为假命题，则（ ）
A．命题¬p与¬q的真值不同
B．命题¬p与¬q至少有一个假命题
C．命题¬p与¬q都是假命题
D．命题¬p与¬q都是真命题

2. 难度：中等

一物体做竖直上抛运动，它距地面的高度h（m）与时间t（s）间的函数关系式为h（t）=-4.9t²+10t，则t=1的瞬时速度（m/s）为（ ）
A．-0.98
B．0.2
C．-0.2
D．-4.9

3. 难度：中等

曲线y=x³-3x²+1在点（1，-1）处的切线方程为（ ）
A．y=3x-4
B．y=-3x+2
C．y=-4x+3
D．y=4x-5

4. 难度：中等

过点（-1，3）且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为（ ）
A．x-2y+7=0
B．2x+y-1=0
C．x-2y-5=0
D．2x+y-5=0

5. 难度：中等

准线为x=2的抛物线的标准方程是（ ）
A．y²=-4
B．y²=-8
C．y²=4
D．y²=8

6. 难度：中等

关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是（ ）
A．若l∥α，α∩β=m，则l∥m
B．若l∥α，m∥α，则l∥m
C．若l⊥α，l∥β，则α⊥β
D．若l∥α，m⊥l，则m⊥α

7. 难度：中等

函数y=x²-lnx的单调递减区间为（ ）
A．（-1，1]
B．（0，1]
C．[1，+∞）
D．（0，+∞）

8. 难度：中等

一正四棱锥各棱长均为a，则其表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知函数y=x³-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（ ）
A．-2或2
B．-9或3
C．-1或1
D．-3或1

11. 难度：中等

若k∈R，则“k＞3”是“方程-=1表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

12. 难度：中等

已知△ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（ ）
A．
B．6
C．
D．12

二、填空题

13. 难度：中等

图是某个圆锥的三视图，根据主视图中所标尺寸，则俯视图中圆的面积为    ，圆锥母线长为    ．

14. 难度：中等

若直线x-y+1=0与圆（x-a）²+y²=2有公共点，则实数a取值范围是    ．

15. 难度：中等

设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为y=±x，则双曲线的离心率e=    ．

16. 难度：中等

如图，正△ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，已知△A′DE是△ADE绕边DE旋转形成的一个图形，且A′∉平面ABC，现给出下列命题：
①恒有直线BC∥平面A′DE；
②恒有直线DE⊥平面A′FG；
③恒有平面A′FG⊥平面A′DE．
其中正确命题的序号为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

求经过点A（3，-1），并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程．

18. 难度：中等

已知圆C：（x-1）²+y²=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．
（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；
（2）当弦AB的长为时，写出直线l的方程．

19. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M、N分别为PA、BC的中点，且PD=AD=，CD=1
（1）求证：MN∥平面PCD；
（2）求证：平面PAC⊥平面PBD；
（3）求三棱锥P-ABC的体积．

20. 难度：中等

设a＞0且a≠0，函数．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在（3，f（3））处切线的斜率；
（2）求函数f（x）的极值点．

21. 难度：中等

已知椭圆的长轴长为4．
（1）若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y=x+2相切，求椭圆焦点坐标；
（2）若点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，记直线PM，PN的斜率分别为k_PM，k_PN，当时，求椭圆的方程．