2011-2012学年重庆市南开中学高三（下）3月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，若a₄+a₅+a₆=6，则该数列的前9项的和为（ ）
A．17
B．18
C．19
D．20

2. 难度：中等

点（1，-1）到直线x-y+1=0的距离是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知=（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

设集合P={x|}，Q={x|log₃x＜1}，那么“m∈P”是“m∈Q”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

设空间中两条直线m、n和两个平面α、β，则下列命题中正确的是（ ）
A．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β
B．若m∥n，m⊂α，n⊥β，则α⊥β
C．若m⊥α，m⊥n，n⊂β，则α∥β
D．m∥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β

6. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=，且不等式x²-6x+8＜0的解集为{x|a＜x＜c}，则b=
（ ）
A．2
B．2
C．2
D．12

7. 难度：中等

已知f（x）的定义在（0，3）上的函数，f（x）的图象如图所示，那么不等式f（x）cosx＜0的解集是（ ）

A．（0，1）∪（2，3）
B．
C．
D．（0，1）∪（1，3）

8. 难度：中等

已知正三棱锥A-BCD，E为侧棱AB中点，CE⊥AD，若底面△ABC边长为2，则此三棱锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

圆心角∠AOB=的扇形AOB，半径r=2，C为弧AB的中点，=，则=（ ）
A．-2
B．-3
C．3
D．2

10. 难度：中等

如图，直线l⊥平面α，垂足为O，正四面体ABCD的棱长为4，C在平面α内，B是直线l上的动点，则当O到AD的距离为最大时，正四面体在平面α上的射影面积为（ ）

A．4+2
B．2
C．4
D．4

二、填空题

11. 难度：中等

若函数在x=3处连续，则a=    ．

12. 难度：中等

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=，AA₁=1，则顶点A、B间的球面距离是    ．

13. 难度：中等

设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=的取值范围是    ．

14. 难度：中等

对任意实数a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-b|≥|a|（|x-1|+|x-2|）恒成立，则实数x的取值范围是    ．

15. 难度：中等

在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＞CD．设以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e₁，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e₂，则e₁•e₂=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积S≥2，
（1）求A的取值范围；
（2）求函数的最值．

17. 难度：中等

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥BC，∠A₁AC=60°，AA₁=AC=BC=1，．
（1）求证：平面A₁BC⊥平面ACC₁A₁；
（2）如果D为AB的中点，求证：BC₁∥平面A₁CD．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx，g（x）=-x²+ax．
（1）函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域内是增函数，求a的取值范围；
（2）在（1）的结论下，设ϕ（x）=e^2x+ae^x，x∈[0，ln2]，求函数ϕ（x）的最小值．

19. 难度：中等

如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角F-BE-D的余弦值；
（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=，a_n=（n≥2，n∈N^*）
（1）求a₂，a₃，a₄
（2）求证{+（-1）ⁿ}为等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（3）设c_n=a_nsin，数列{c_n}的前n项和为{T_n}．求证：对任意的n．

21. 难度：中等

如图，抛物线的焦点到准线的距离与椭圆的长半轴相等，设椭圆的右顶点为A，C₁，C₂在第一象限的交点为B，O为坐标原点，且△OAB的面积为
（1）求椭圆C₂的标准方程；
（2）过点A作直线l交C₁于C，D两点，射线OC，OD分别交C₂于E，F两点．
（I）求证：O点在以EF为直径的圆的内部；
（II）记△OEF，△OCD的面积分别为S₁，S₂，问是否存在直线l，使得S₂=3S₁？请说明理由．