2011-2012学年湖北省孝感高级中学高二（下）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若命题p的否命题是命题q，命题q的逆命题是命题r，则r是p的（ ）
A．逆否命题
B．否命题
C．逆命题
D．原命题

2. 难度：中等

在一次射击训练中，某战士甲向标靶射击两次，命题p表示“第一次射击击中标靶”；命题q表示“第二次射击击中标靶”，则命题“甲在这两次射击中击中了标靶”用p，q可以表示为（ ）
A．p∧q
B．p∨q
C．p∧（¬q）
D．（¬p）∨q

3. 难度：中等

已知f（2）=-g′（2）=-2，g（2）=f′（2）=1，函数F（x）=f（x）[g（x）-2]，则F′（2）=（ ）
A．-5
B．5
C．-3
D．3

4. 难度：中等

抛物线y²=4x上一点M（x，y）到焦点的距离为3，则x=（ ）
A．0
B．
C．1
D．2

5. 难度：中等

若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

函数 f（x）=lnx在点 M（x，f（x））处的切线与直线平行，则x=（ ）
A．
B．
C．
D．2

7. 难度：中等

“cosα＞0”是“x²+y²cosα=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ） 条件．
A．充分而非必要
B．充要
C．必要而非充分
D．既非充分又非必要

8. 难度：中等

已知双曲线的实轴在y轴上．且焦距为8，则此双曲线的渐近线的方程为（ ）
A．
B．
C．y=±3
D．

9. 难度：中等

已知函数 f（x）=xtanx，则 =（ ）
A．
B．
C．
D．1

10. 难度：中等

已知圆O′：（x-1）²+y²=36，点A（-1，0），M是圆上任意一点，线段AM的中垂线l和直线O′M相交于点Q，则点Q的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

命题“∃x∈R，x²+x+1≤0”的否定是    ．

12. 难度：中等

已知函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）在区间（a，b）内的极小值点为    ．（写出所有你认为取得极小值处的点的横坐标，若有多个用逗号隔开）

13. 难度：中等

顶点在原点，对称轴为x轴且过点（-4，4）的抛物线的标准方程是    ．

14. 难度：中等

椭圆的焦点为F₁，F₂，点P在椭圆上，且线段PF₁的中点恰好在y轴上，|PF₁|=λ|PF₂|，则λ=    ．

15. 难度：中等

函数f（x）=-x的单调递增区间为    ．

16. 难度：中等

如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是    ．

17. 难度：中等

有以下命题：
①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；
②椭圆的离心率为e，则e越接近于1，椭圆越圆；e越接近于0，椭圆越扁．
③不是奇函数的函数的图象不关于原点对称；
④已知函数y=f（x）的定义域为（a，b），若f（x）在定义域内有极大值，则f（x）在定义域内必有最大值．
其中，错误的命题是    ．（写出所有你认为错误的命题的序号）

三、解答题

18. 难度：中等

已知命题p：∀x∈R，x²-a≥0，命题q：∃x∈R，x²+2ax+2-a=0，命题“p或q”为假，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x（x-c）²（其中c为常数，c∈R）
（Ⅰ）若函数f（x）在定义域内有极值，求实数c的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）在x=2处取得极大值，求实数c的值．

20. 难度：中等

如图，已知直线l：x=my+4（m∈R）与x轴交于点P，交抛物线y²=2ax（a＞0）于A，B两点，坐标原点O是PQ的中点，记直线AQ，BQ的斜率分别为k₁，k₂．
（Ⅰ）若P为抛物线的焦点，求a的值，并确定抛物线的准线与以AB为直径的圆的位置关系．
（Ⅱ）试证明：k₁+k₂为定值．

21. 难度：中等

某工厂经奥组委授权生产销售伦敦奥运会吉祥物（精灵”文洛克”）饰品，生产该饰品的全部成本c与生产的饰品的件数x（单位：万件）满足函数（单位：万元）；该饰品单价p（单位：元）的平方与生产的饰品件数x（单位：万件）成反比，现已知生产该饰品100万件时，其单价p=50元．且工厂生产的饰品都可以销售完．设工厂生产该饰品的利润为f（x）（万元）（注：利润=销售额-成本）
（Ⅰ）求函数y=f（x）的表达式．
（Ⅱ）当生产该饰品的件数x（万件）为多少时，工厂生产该饰品的利润最大．

22. 难度：中等

已知点，动点N（x，y），设直线NP，NQ的斜率分别记为k₁，k₂，记（其中“⊗”可以是四则运算加、减、乘、除中的任意一种运算），坐标原点为O，点M（2，1）．
（Ⅰ）探求动点N的轨迹方程；
（Ⅱ）若“⊗”表示乘法，动点N的轨迹再加上P，Q两点记为曲线C，直线l平行于直线OM，且与曲线C交于A，B两个不同的点．
（ⅰ）若原点O在以AB为直径的圆的内部，试求出直线l在y轴上的截距m的取值范围．
（ⅱ）试求出△AOB面积的最大值及此时直线l的方程．