2013-2014学年吉林省白山市高三（上）摸底数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

集合A={x|（x-1）（x+2）≤0}，B={x|x＜0}，则A∪B=（ ）
A．（-∞，0]
B．（-∞，1]
C．[1，2]
D．[1，+∞）

2. 难度：中等

复数z=在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．12
B．11
C．
D．

4. 难度：中等

若数列{a_n}的前n项和为S_n，则下列命题：
（1）若数列{a_n}是递增数列，则数列{S_n}也是递增数列；
（2）数列{S_n}是递增数列的充要条件是数列{a_n}的各项均为正数；
（3）若{a_n}是等差数列（公差d≠0），则S₁•S₂…S_k=0的充要条件是a₁•a₂…a_k=0．
（4）若{a_n}是等比数列，则S₁•S₂…S_k=0（k≥2，k∈N）的充要条件是a_n+a_n+1=0．
其中，正确命题的个数是（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

5. 难度：中等

已知命题p：“a=1是x＞0，x+≥2的充分必要条件”，命题q：“存在x∈R，+x-2＞0”，则下列命题正确的是（ ）
A．命题“p∧q”是真命题
B．命题“p∧（￢q）”是真命题
C．命题“（￢p）∧q”是真命题
D．命题“（￢p）∧（￢q）”是真命题

6. 难度：中等

如图给出的是计算的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（ ）

A．i≤1005
B．i＞1005
C．i≤1006
D．i＞1006

7. 难度：中等

函数f（x）=e^|x|-x²的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

如图，已知点O是边长为1的等边△ABC的中心，则（）•（）等于（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取2件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ）
A．420
B．560
C．840
D．20160

10. 难度：中等

已知0＜a＜1，则函数y=a^|x|-|log_ax|的零点的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

11. 难度：中等

设函数y=f（x），x∈R的导函数f'（x），且f（-x）=f（x），f′（x）＜f（x），则下列不等式成立的是（ ）
A．f（0）＜e^-1f（1）＜e²f（2）
B．e²f（2）＜f（0）＜e^-1f（1）
C．e²f（2）＜e^-1f（1）＜f（0）
D．e^-1f（1）＜f（0）＜e²f（2）

12. 难度：中等

设双曲线的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，与双曲线的其中一个交点为P，设O为坐标原点，若，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

函数f（x）=1+log₂x与y=g（x）的图象关于直线y=x对称，则g（3）=    ．

14. 难度：中等

函数f（x）=1+log₂x的反函数f^-1（x）=    ．

15. 难度：中等

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为    ．

16. 难度：中等

已知点M为等边三角形ABC的中心，AB=2，直线l过点M交边AB于点P，交边AC于点Q，则的最大值为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知a₁=2，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x²+2x的图象上，其中n=1，2，3，…
（1）证明：数列{lg（1+a_n）}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=+，求数列{b_n}的前n项和S_n．

18. 难度：中等

一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片．
（I）若一次从中随机抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于或等于7的概率；
（Ⅱ）若第一次随机抽取1张卡片，放回后再随机抽取1张卡片，求两次抽取的卡片中至少一次抽到数字2的概率．

19. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．
（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB；
（3）在（2）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M-BQ-C的大小．

20. 难度：中等

已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点和短轴的两个端点都在圆x²+y²=1上．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若斜率为k的直线过点M（2，0），且与椭圆C相交于A，B两点．试探讨k为何值时，三角形OAB为直角三角形．

21. 难度：中等

已知A（，0），点B是y轴上的动点，过B作AB的垂线l交x轴于点Q，若，M（4，0）．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）是否存在定直线x=a，以PM为直径的圆与直线x=a的相交弦长为定值，若存在，求出定直线方程；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

选修4-1：平面几何
如图，△ABC是内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若AB=6，BC=4，求AE．

23. 难度：中等

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合．直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=sin（）．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C相交于M、N两点，求M、N两点间的距离．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|3x-1|+ax+3．
（1）若a=1，解不等式f（x）≤5；
（2）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围．