2012-2013学年浙江省宁波市高二（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若直线l垂直于直y=1，则直线l的倾斜角是（ ）
A．0°
B．90°
C．180°
D．不存在

2. 难度：中等

若直线a⊥平面α内两条直线，则直线a⊥平面α；则它和它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

3. 难度：中等

“sinα=1”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件

4. 难度：中等

若圆C与圆（x+2）²+（y-1）²=1关于原点对称，则圆C的方程为（ ）
A．（x-2）²+（y+1）²=1
B．（x+1）²+（y-1）²=1
C．（x-1）²+（y+2）²=1
D．（x+1）²+（y-2）²=1

5. 难度：中等

已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则以下命题中是真命题的有（ ）
①⇒b⊥α  
②⇒a∥b  
③⇒α∥β 
④⇒a⊥β
A．②④
B．②③
C．①④
D．③④

6. 难度：中等

若实数x，y满足方程x²+y²=1，则的取值范围是（ ）
A．[-，]
B．（-∞，-]∪[，+∞）
C．（-∞，-]∪[，+∞）
D．[-，]

7. 难度：中等

直线l过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长为6，AB的中点到y轴的距离为2，则该抛物线的方程是（ ）
A．y²=8
B．y²=6
C．y²=4
D．y²=2

8. 难度：中等

双曲线-=1（a＞0，b＞0）中，F为右焦点，A为左顶点，点B（0，b）且AB⊥BF，则此双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

双曲线C和椭圆4x²+y²=1有相同的焦点，它的一条渐近线为y=x，则双曲线C的方程为（ ）
A．4x²-2y²=1
B．2x²-y²=1
C．4x²-2y²=-1
D．2x²-y²=-1

10. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0），过点E（m，0）（m≠0）的直线交抛物线与点M，N，交y轴于点P，若=λ，=μ，则λ+μ=（ ）
A．1
B．-1
C．2
D．-2

二、填空题

11. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为    ．

12. 难度：中等

给出以下四个命题：
①命题“若x²-4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x²-4x+3≠0”
②若p且q为假命题，则p、q均为假命题
③“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件
④经过点P（x，y）的直线一定可以用方程y-y=k（x-x）表示
其中真命题的序号是    ．

13. 难度：中等

已知某几何体的三视图如图所示，其中侧视图是等腰直角三角形，正视图是直角三角形，俯视图ABCD是直角梯形，则此几何体的体积为    ．

14. 难度：中等

如图，二面角α-l-β的大小是60°，线段AB⊂α．B∈l，AB与l所成的角为30°．则AB与平面β所成的角的正弦值是    ．

15. 难度：中等

已知点P为抛物线y²=2x上的动点，则点P到直线y=x+2的距离的最小值为    ．

16. 难度：中等

已知A，B，P为椭圆+=1（m，n＞0）上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积k_PA•k_PB=-2，则该椭圆的离心率为    ．

17. 难度：中等

已知抛物线C₁：x²=8y和圆C₂：x²+（y-2）²=4，直线l过C₁焦点，且与C₁，C₂交于四点，从左到右依次为A，B，C，D，则=    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知p：函数y=x²+mx+1在（-1，+∞）上单调递增，q：函数y=4x²+4（m-2）x+1大于0恒成立．若p∨q为真，p∧q为假，求m的取值范围．

19. 难度：中等

已知圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A（0，-4），B（0，-2）； 
（1）求圆C的方程．
（2）设点P（x，y）为圆C上的动点，求（x-2）²+y²的取值范围．

20. 难度：中等

如图，在Rt△AOB中，∠OAB=，斜边AB=4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角．动点D在斜边AB上．
（1）求证：平面COD⊥平面AOB；
（2）设CD与平面AOB所成角的最大值为α，求tanα值．

21. 难度：中等

如图，F为抛物线y²=2px的焦点，A（4，2）为抛物线内一定点，P为抛物线上一动点，且|PA|+|PF|的最小值为8．
（1）求该抛物线的方程；
（2）如果过F的直线l交抛物线于M、N两点，且|MN|≥32，求直线l的倾斜角的取值范围．

22. 难度：中等

如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为F₁，F₂，线段OF₁，OF₂的中点分别为B₁，B₂，且△AB₁B₂是面积为4的直角三角形．
（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；
（Ⅱ）过B₁做直线l交椭圆于P，Q两点，使PB₂⊥QB₂，求直线l的方程．