2013-2014学年湖南省株洲市茶陵二中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x＜3}，B={1，2，3，4}则（∁_RA）∩B=（ ）
A．{4}
B．{3，4}
C．{2，3，4}
D．{1，2，3，4}

2. 难度：中等

命题“∃x＞0，x²-x≤0”的否定是（ ）
A．∃x＞0，x²-x＞0
B．∃x≤0，x²-x＞0
C．∀x＞0，x²-x＞0
D．∀x≤0，x²-x＞0

3. 难度：中等

若（a-2i）i=b-i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a+b=（ ）
A．1
B．-1
C．2
D．-2

4. 难度：中等

“（2x-1）x=0”是“x=0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要补充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

若等差数列{a_n}的公差d≠0，且a₁，a₃，a₇成等比数列，则的值为（ ）
A．2
B．
C．
D．

7. 难度：中等

如图，是一个几何体的三视图，侧视图和正视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积（ ）

A．6
B．
C．24
D．3

8. 难度：中等

按如程序框图，若输出结果为170，则判断框内应补充的条件为（ ）

A．i＞5
B．i≥7
C．i＞9
D．i≥9

9. 难度：中等

设函数f（x）=，若f（x）＞1成立，则实数x的取值范围是（ ）
A．（-∞，-2）
B．（-，+∞）
C．（-2，-）
D．（-∞，-2）∪（-，+∞）

二、填空题

10. 难度：中等

在△ABC中，已知BC=，sinC=2sinA，则AB=    ．

11. 难度：中等

在区间[1，9]上随机取一实数，则该实数在区间[4，7]上的概率为    ．

12. 难度：中等

已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的参数方程为（s为参数），则圆心C到直线l的距离是    ．

13. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直线A₁B与平面A₁B₁CD 所成的角的大小等于    ．

14. 难度：中等

若非负数变量x、y满足约束条件，则x+y的最大值为    ．

15. 难度：中等

定义运算符号“”：表示若干个数相乘，例如：=1×2×3×…×n．记T_n=，其中a_i为数列{a_n}中的第i项．
（1）若a_n=2n-1，则T₄=    ；
（2）若T_n=n²（n∈N^*），则a_n=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知向量=（2cosx，1），=（cosx，sin2x），f（x）=
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且f（A）=2，a=，b=1，求角C．

17. 难度：中等

某中学共有学生2000人，各年级男，女生人数如下表：

	一年级	二年级	三年级
女生	373	x	y
男生	377	370	z

已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19．
（1）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少名？
（2）已知y≥245，z≥245，求高三年级中女生比男生多的概率．

18. 难度：中等

如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D，E分别是VB，VC的中点，VA⊥平面ABC．
（Ⅰ）求异面直线DE与AB所成的角；
（Ⅱ）证明DE⊥平面VAC．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和是S_n，且．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₃（1-S_n+1），求适合方程的n的值．

20. 难度：中等

已知椭圆C的中心在原点，焦点F₁，F₂在x轴上，离心率，且经过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l经过椭圆C的右焦点F₂，且
与椭圆C交于A，B两点，使得|F₁A|，|AB|，|BF₁|依次成等差数列，求直线l的方程．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=（ax²+bx+c）e^x在x=1处取得极小值，其图象过点A（0，1），且在点处切线的斜率为-1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设函数g（x）的定义域D，若存在区间[m，n]⊆D，使得g（x）在[m，n]上的值域也是[m，n]，则称区间[m，n]为函数g（x）的“保值区间”．
（ⅰ）证明：当x＞1时，函数f（x）不存在“保值区间”；
（ⅱ）函数f（x）是否存在“保值区间”？若存在，写出一个“保值区间”（不必证明）；若不存在，说明理由．