2011-2012学年湖北省部分中学高二（下）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（ ）
A．真命题与假命题的个数相同
B．真命题的个数一定是偶数
C．真命题的个数一定是奇数
D．真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数

2. 难度：中等

方程2x²-5x+2=0的两个根可分别作为（ ）
A．一椭圆和一双曲线的离心率
B．两抛物线的离心率
C．一椭圆和一抛物线的离心率
D．两椭圆的离心率

3. 难度：中等

“双曲线的方程为”是“双曲线的渐近线方程为4x±3y=0”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

化简方程=10为不含根式的形式是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

抛物线y²=10x的焦点到准线的距离是（ ）
A．
B．5
C．
D．10

6. 难度：中等

过双曲线的一个焦点F₂作垂直于实轴的弦PQ，F₁是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率e等于（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

曲线与曲线的（ ）
A．焦距相等
B．离心率相等
C．焦点相同
D．准线相同

8. 难度：中等

在同一坐标系中，方程a²x²+b²y²=1与ax+by²=0（a＞b＞0）的曲线大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

有下列四个命题：
①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x²+2x+q=0有实根”的逆命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题；
其中真命题的序号有（ ）
A．①②③
B．①③④
C．①③
D．①④

10. 难度：中等

要使直线y=kx+1（k∈R）与焦点在x轴上的椭圆+=1总有公共点，实数a的取值范围是（ ）
A．0＜a≤1
B．0＜a＜7
C．1≤a＜7
D．1＜a≤7

二、填空题

11. 难度：中等

椭圆5x²+ky²=5的一个焦点是（0，2），那么k=    ．

12. 难度：中等

双曲线的渐近线方程为x±2y=0，焦距为10，这双曲线的方程为    ．

13. 难度：中等

设AB是椭圆的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则k_AB•k_OM=    ．

14. 难度：中等

已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则¬p为    ．

15. 难度：中等

过双曲线的mx²-y²=m（m＞1）的左焦点作直线l交双曲线于P、Q两点，若|PQ|=2m，则这样的直线共有    条．

三、解答题

16. 难度：中等

已知p：，q：x²-2x+1-m²≤0（m＞0），若￢p是￢q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．

17. 难度：中等

求满足下列条件的曲线方程：
（1）经过两点的椭圆的标准方程；
（2）与双曲线有公共渐近线，且经过点（-3，2）的双曲线的标准方程；
（3）焦点在直线x+3y+15=0上的抛物线的标准方程．

18. 难度：中等

已知双曲线的中心在原点，焦点F₁，F₂在坐标轴上，离心率为，且过点P（4，）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：=0；
（3）求△F₁MF₂的面积．

19. 难度：中等

如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F₁，F₂分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P，∠F₁PF₂=，且△PF₁F₂的面积为2，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．

20. 难度：中等

已知双曲线的两个焦点为
的曲线C上．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q （0，2）的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为，求直线l的方程．

21. 难度：中等

已知双曲线C：x²-y²=1，l：y=kx+1
（1）求直线L的斜率的取值范围，使L与C分别有一个交点，两个交点，没有交点．
（2）若Q（1，1），试判断以Q为中点的弦是否存在，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．