2012-2013学年湖北省宜昌市长阳一中高一（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设a＞1＞b＞-1，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A．
B．
C．a＞b²
D．a²＞2b

2. 难度：中等

下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是（ ）
A．lg（x²+1）≥lg2
B．
C．
D．x²+1≥2

3. 难度：中等

已知数列则是它的（ ）
A．第8项
B．第9项
C．第10项
D．第11项

4. 难度：中等

△ABC中，a=1，b=，A=30°，则B等于（ ）
A．60°
B．60°或120°
C．30°或150°
D．120°

5. 难度：中等

已知实数x，y满足不等式组，则2x+y的最大值是（ ）
A．0
B．3
C．4
D．5

6. 难度：中等

若a₄，a₈是等比数列{a_n}中的项，且不等式x²-4x+3＜0的解集是（a₄，a₈），则a₆的值是（ ）
A．
B．
C．
D．±3

7. 难度：中等

若一个等差数列的前3项的和为-36，第2，3，4项的和为-33，S_n是这个数列的前n项和，则当S_n最小时的n=（ ）
A．13
B．14
C．12或13
D．13或14

8. 难度：中等

等比数列的前n项和S₁，前2n项和S₂，前3n项和S₃则（ ）
A．S₂²=S₁S₃
B．S₁+S₃=2S₂
C．S₁+S₂-S₃=S₂²
D．S₁²+S₂²=S₁（S₂+S₃）

9. 难度：中等

在△ABC中，=，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰或直角三角形
D．等边三角形

10. 难度：中等

黄金的价格由上午的P₁元/盎司变为下午的P₂元/盎司，某操盘手打算分上、下午两次买入一定数量的黄金，在不考虑价格升降的前提下他有两种方案：方案甲：两次等重量买入．方案乙：两次买入所花的钱数相同．则（ ）
A．方案甲较为划算
B．方案乙较为划算
C．P₁＜P₂时方案乙较为划算
D．P₁＞P₂时甲方案较为划算

二、填空题

11. 难度：中等

设甲、乙两楼相距20m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则乙楼的高是    ．

12. 难度：中等

设f（x）=ax²+bx，且1≤f（-1）≤2，3≤f（1）≤4，则f（-2）的取值范围是    ．

13. 难度：中等

在各项均为正数的等比数列{a_n}中，若a₃=5，则a₁+2a₅的最小值是    ．

14. 难度：中等

已知数列{a_n}：，+，++，+++，…，那么数列b_n=前n项和为    ．

15. 难度：中等

对于大于或等于2的自然数m的n次幂进行如图方式的“分裂”．仿此，5²的“分裂”中最大的数是    ，若m³的“分裂”中最小的数是211，则m的值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab，当，x∈（-3，2）时，f（x）＞0；当x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）时，f（x）＜0
（1）求f（x）在[-1，1]上的值域；
（2）c为何值时，ax²+bx+c≤0的解集为R．

17. 难度：中等

在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，．
（1）若△ABC的面积等于，求a，b；
（2）若sinB=2sinA，求△ABC的面积．

18. 难度：中等

某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图形如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米²，水池所有墙的厚度忽略不计，试设计污水处理池的长与宽，使总造价最低，并求出最低总造价．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和是s_n=n²-2n+2，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=a_nxⁿ（x∈R且x≠0）．求数列{b_n}前n项和的公式．

20. 难度：中等

在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A为n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距离A为2n mile的C处有一艘缉私艇奉命以n mile/h的速度追截走私船，此时，走私船正以10n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间．（本题解题过程中请不要使用计算器，以保证数据的相对准确和计算的方便）

21. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n+（-1）ⁿ，n≥1．
（1）写出数列{a_n}的前三项a₁，a₂，a₃；
（2）试判断数列是否为等比数列，如果是，求出的通项公式；如果不是，请说明理由；
（3）证明：对任意的整数m＞4，有．