2011-2012学年湖北省宜昌一中高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

=（ ）
A．1
B．i
C．-1
D．-i

2. 难度：中等

一辆汽车从停止时开始加速行驶，并且在5秒内速度v（m/s）与时间t（s）的关系近似表示为v=f（t）=-t²+10t，则汽车在时刻t=1秒时的加速度为（ ）
A．9m/s
B．9m/s²
C．8m/s²
D．7m/s²

3. 难度：中等

下列说法错误的是（ ）
A．命题“若x²-4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x²-4x+3≠0”
B．若p且q为假命题，则p、q均为假命题
C．“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件
D．命题p：“存在x∈R使得x²+x+1＜0”，则非p：“任意x∈R，均有x²+x+1≥0”

4. 难度：中等

若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线f（x）=x³-3ax（x∈R）的切线，则a的取值范围是（ ）
A．a
B．
C．
D．

5. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，线段B₁D上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（ ）
A．AC⊥BE
B．A₁C⊥平面AEF
C．三棱锥A-BEF的体积为定值
D．异面直线AE、BF所成的角为定值

6. 难度：中等

一抛物线型拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m时，则水面宽为（ ）
A．m
B．2m
C．4.5m
D．9m

7. 难度：中等

设双曲线的一条渐近线与抛物线x=y²的一个交点的横坐标为，若，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

f（x）=x²-2x，g（x）=ax+2（a＞0），若对任意的x₁∈[-1，2]，存在x∈[-1，2]，使g（x₁）=f（x），则a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．[3，+∞）
D．（0，3]

9. 难度：中等

已知P是椭圆上异于长轴端点A、B的任意点，若直线PA、PB的斜率乘积k_PA•k_PB=-，则该椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

定义在区间[0，a]上的函数f（x）的图象如图所示，记以A（0，f（0）），B（a，f（a）），C（x，f（x））为顶点的三角形的面积为S（x），则函数S（x）的导函数S′（x）的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

曲线y=x²和曲线y=围成一个叶形图（如图所示阴影部分），其面积是    ．

12. 难度：中等

曲线f（x）=+4lnx上切线斜率所构成的函数的极小值点是    ．

13. 难度：中等

若函数f（x）=-+x在（a，10-a²）上有最大值，则实数a的取值范围为    ．

14. 难度：中等

在空间直角坐标系O-xyz中，=（其中分别为x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量）．有下列命题：
①若=且|，则的最小值为2
②若，若向量与共线且||，则动点P的轨迹是抛物线；
③若=，则平面MQR内的任意一点A（x，y，z）的坐标必须满足关系式=1；
④设，，，若向量与共线且||，则动点P的轨迹是双曲线的一部分．
其中你认为正确的所有命题的序号为    ．

15. 难度：中等

数列{a_n}是正项等差数列，若，则数列{b_n}也为等差数列，类比上述结论，写出正项等比数列{c_n}，若d_n=    则数列{d_n}也为等比数列．

三、解答题

16. 难度：中等

已知z∈C，z+2i 和 都是实数．
（1）求复数z；
（2）若复数（z+ai）² 在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围．

17. 难度：中等

已知四边形ABCD是等腰梯形，AB=3，DC=1，∠BAD=45°，DE⊥AB，（如图1）．现将△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB（如图2），连结AC、AB，设M是AB的中点．
（I）求证：BC⊥平面AEC；
（Ⅱ）求二面角C-AB-E的正切值；
（Ⅲ）判断直线EM是否平行于平面ACD，并说明理由．

18. 难度：中等

学习曲线是1936年美国廉乃尔大学T．P．Wright博士在飞机制造过程中，通过对大量有关资料、案例的观察、分析、研究，首次发现并提出来的．已知某类学习任务的学习曲线为：f（t）=•100%（其中f（t））为掌握该任务的程度，t为学习时间），且这类学习任务中的某项任务满足f（2）=60%
（1）求f（t）的表达式，计算f（0）并说明f（0）的含义；
（2）已知2^x＞xln2对任意x＞0恒成立，现定义为该类学习任务在t时刻的学习效率指数，研究表明，当学习时间f∈（1，2）时，学习效率最佳，当学习效率最佳时，求学习效率指数相应的取值范围．

19. 难度：中等

设，是否存在g（n），使等式f（1）+f（2）+…+f（n-1）=g（n）f（n）-1
对n≥2的一切自然数都成立，并证明你的结论．

20. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，并且直线y=x+b是抛物线C₂：y²=4x的一条切线．
（I）求椭圆C₁的方程．
（Ⅱ）过点的动直线l交椭圆C₁于A、B两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T？若存在求出T的坐标；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x-ln（x+a）．（a是常数）
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当y=f（x）在x=1处取得极值时，若关于x的方程f（x）+2x=x²+b在[0.5，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）求证：当n≥2，n∈N₊时．