2013-2014学年四川省成都外国语学校高三（上）8月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数是（ ）
A．y=x+1
B．y=x|x|
C．y=
D．y=-x²

2. 难度：中等

设，则（ ）
A．a＞b＞c
B．c＞a＞b
C．b＞a＞c
D．b＞c＞a

3. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（-2，1]上的图象，则f（2013）+f（2014）=（ ）

A．3
B．2
C．1
D．0

4. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={x|y=}，集合B={y|y=2^x，x∈R}，则（∁_RA）∩B=（ ）
A．{x|x＞2}
B．{x|0＜x≤1}
C．{x|1＜x≤2}
D．{x|x＜0}

5. 难度：中等

定义两种运算：a⊕b=，a⊗b=，则函数为（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．奇函数且为偶函数
D．非奇函数且非偶函数

6. 难度：中等

下列4个命题：
（1）若a＜b，则am²＜bm²；
（2）“a≤2”是“对任意的实数x，|x+1|+|x-1|≥a成立”的充要条件；
（3）命题“∃x∈R，x²-x＞0”的否定是：“∀x∈R，x²-x＜0”；
（4）函数的值域为[-1，1]．
其中正确的命题个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．0

7. 难度：中等

已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是（ ）
A．-3≤a＜0
B．-3≤a≤-2
C．a≤-2
D．a＜0

8. 难度：中等

若方程2a•9^sinx+4a•3^sinx+a-8=0有解，则a的取值范围是（ ）
A．a＞0或a≤-8
B．a＞0
C．
D．

9. 难度：中等

已知函数，当x∈[1，3]时，f（x）=lnx，若在区间内，函数g（x）=f（x）-ax，有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知函数f（x）=1+x-+-+…+，g（x）=1-x+-+-…-，设函数F（x）=f（x+3）•g（x-4），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z内，则b-a的最小值为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11

二、填空题

11. 难度：中等

函数f（x）=的定义域为    ．

12. 难度：中等

已知y=f（x）+x²是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（-1）=    ．

13. 难度：中等

不等式|x-1|≥kx-2对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围为    ．

14. 难度：中等

设实数x，y满足约束条件，若目标函数z=+（a＞0，b＞0）的最大值为9，则d=的最小值为    ．

15. 难度：中等

给定方程：（）^x+sinx-1=0，下列命题中：
①该方程没有小于0的实数解；
②该方程有无数个实数解；
③该方程在（-∞，0）内有且只有一个实数解；
④若x是该方程的实数解，则x＞-1．
则正确命题是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知向量=（sin（A-B），），=（1，2sinB），且•=-sin2C，其中A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若，且S_△ABC=，求边c的长．

17. 难度：中等

甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为，乙，丙做对的概率分别为m，n（m＞n），且三位学生是否做对相互独立．记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：

ξ		1	2	3
P		a	b

（1）求至少有一位学生做对该题的概率；
（2）求m，n的值；
（3）求ξ的数学期望．

18. 难度：中等

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（I）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；
（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．

19. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动．
（1）证明：D₁E⊥A₁D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD₁的距离；
（3）AE等于何值时，二面角D₁-EC-D的大小为．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n，满足：．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）若数列{b_n}的满足b_n=log₂（a_n+2），T_n为数列的前n项和，求证：．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+ln（x+1）．
（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围．
（Ⅲ）求证：（其中n∈N^*，e是自然对数）．