2011-2012学年浙江省温州中学高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知i为虚数单位，则（i+1）²的模为（ ）
A．1
B．
C．2
D．4

2. 难度：中等

若a，b都是实数，则“a-b＞0”是“a³-b³＞0”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

设双曲线（a＞0）的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

4. 难度：中等

已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，m∥β，则α∥β
D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n

5. 难度：中等

用数学归纳法证明1-+-+…+-=++…+（n∈N^*），则从“n=k到n=k+1”，左边所要添加的项是（ ）
A．
B．-
C．-
D．-

6. 难度：中等

某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校．若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有（ ）
A．144种
B．150种
C．196种
D．256种

7. 难度：中等

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=2AB．若E，F分别为线段A₁D₁，CC₁的中点，则直线EF与平面ADD₁A₁所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知点A（0，2），B（2，0），若点C在抛物线x²=4y的图象上，则使得△ABC的面积为3的点C的个数为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

9. 难度：中等

已知双曲线-=1的左右焦点分别为F₁，F₂，过F₂的直线交双曲线右支于A，B两点，且=3，若△ABF₁是以B为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率等于（ ）
A．3
B．2
C．
D．

10. 难度：中等

将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数和原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数是奇和数．那么，所有的三位数中，奇和数有（ ）个．
A．80
B．100
C．120
D．160

二、填空题

11. 难度：中等

在的二项展开式中，x³的系数是    （用数字作答）．

12. 难度：中等

已知下列不等式：1+，1+，1+…+＞2，…则由以上不等式推测到一个一般的结论为    ．

13. 难度：中等

已知椭圆=1的两焦点为F₁，F₂，点P（x，y）满足0＜1，则|PF₁|+|PF₂|的取值范围为    ．

14. 难度：中等

同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿1张贺年卡，记取回自己贺年卡的同学个数为ξ，则ξ的数学期望为    ．

15. 难度：中等

已知AB=4，BC=2的矩形ABCD，沿对角线BD将△BDC折起，使得面BCD⊥面ABD，则异面直线BC与AD所成角的余弦值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知箱子里装有3个白球、3个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从箱子里取出2个球，若这两个球的颜色相同，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）
（Ⅰ）求在1次游戏中获奖的概率；
（Ⅱ）求在3次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E（X）．

17. 难度：中等

设动点M（x，y）（x≥0）到定点F（2，0）的距离比它到y轴的距离大2．
（Ⅰ）求动点M的轨迹方程C；
（Ⅱ）设过点F的直线l交曲线C于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB面积的最小值．

18. 难度：中等

如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=2，分别过A、C作平面ABC的垂线AA′和CC′，AA′=h₁，CC′=h₂，且h₁＞h₂，连接A′C和AC′交于点P．
（I）设点M为BC中点，求证：直线PM与平面A′AB不平行；
（II）设O为AC中点，若h₁=2，二面角A-A′C′-B等于45°，求直线OP与平面A′BP所成的角．

19. 难度：中等

设椭圆+=1（a＞1）的左、右焦点分别为F₁，F₂，A是椭圆上位于x轴上方的动点．
（Ⅰ）当取最小值时，求A点的坐标；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的情形下，是否存在以A为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形？若存在，求出共有几个；若不存在，请说明理由．