2012-2013学年黑龙江省哈尔滨六中高二（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（ ）
A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂β
B．若l∥α，α∥β，则l⊂β
C．若l⊥α，α∥β，则l⊥β
D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β

2. 难度：中等

双曲线x²+ky²=1的一条渐近线斜率是2，则k的值为（ ）
A．4
B．
C．-4
D．

3. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BC₁与平面BB₁D₁D所成的角是（ ）
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°

4. 难度：中等

已知椭圆的中心为原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知双曲线的焦点为F₁、F₂，点M在双曲线上且，则点M到x轴的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

如图正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）

A．8cm
B．6cm
C．
D．

7. 难度：中等

如图，正棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB，则异面直线A₁B与AD₁所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知点P是抛物线y²=2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点，则|PA|+|PM|的最小值是（ ）
A．5
B．
C．4
D．AD

9. 难度：中等

等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y²=16x的准线交于A，B两点，，则C的实轴长为（ ）
A．
B．
C．4
D．8

10. 难度：中等

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若线段AB的中点到抛物线C准线的距离为4，则p的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

11. 难度：中等

一个几何体的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图为边长为的正三角形，且圆与三角形内切，则该几何体侧视图的面积为（ ）

A．4+π
B．
C．6+3π
D．6+π

12. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，线段B₁D上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（ ）
A．AC⊥BE
B．A₁C⊥平面AEF
C．三棱锥A-BEF的体积为定值
D．异面直线AE、BF所成的角为定值

二、填空题

13. 难度：中等

如图是正方体的表面展开图，E，F，G，H分别是棱的中点，则EF与GH在原正方体中的位置关系为    ．

14. 难度：中等

在等边△ABC中，若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率为    ．

15. 难度：中等

某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为    ．

16. 难度：中等

双曲线-=1（a＞0，b＞0）的离心率是2，则的最小值是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形，PA⊥底面ABCD其中AB⊥AD，CD⊥AD，CD=AD=PA=2AB，E是PC中点．
（1）求证：BE∥平面PAD；
（2）求异面直线PD与BC所成角的余弦值．

18. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，且AA₁=AB=BC=AC=a，点E是棱AB的中点．
（1）求证：BC₁∥平面A₁CE；
（2）求三棱锥E-A₁CC₁的体积．

19. 难度：中等

已知椭圆C中心在原点，一个焦点为F（-2，0），且长轴长与短轴长的比是．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在斜率为的直线l，使直线l与椭圆C有公共点，且原点O与直线l的距离等于4；若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=3，BC=AA₁=4，点O是AC的中点．
（1）求证：AD₁∥平面DOC₁；
（2）求异面直线AD₁和DC₁所成角的余弦值．

21. 难度：中等

已知椭圆C₁的方程为+y²=1，双曲线C₂的左、右焦点分别为C₁的左、右顶点，而C₂的左、右顶点分别是C₁的左、右焦点．
（Ⅰ）求双曲线C₂的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+与椭圆C₁及双曲线C₂都恒有两个不同的交点，且l与C₂的两个交点A和B满足•＜6（其中O为原点），求k的取值范围．

22. 难度：中等

已知过点A（-4，0）的动直线l与抛物线C：x²=2py（p＞0）相交于B、C两点．当l的斜率是．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．