2013-2014学年安徽省安庆市望江四中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合A={x|}，B={x|x²＜2x}，则A∩B=（ ）
A．{x|0＜x＜1}
B．{x|0≤x＜1}
C．{x|0＜x≤1}
D．{x|0≤x≤1}

2. 难度：中等

设x∈R，i是虚数单位，则“x=-3”是“复数z=（x²+2x-3）+（x-1）i为纯数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

已知{a_n}为等差数列，若a₁+a₅+a₉=8π，则cos（a₃+a₇）的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（ ）
A．y=x-1
B．y=tan
C．y=x³
D．y=log₂

5. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+bx²-2（a≠0）有且仅有两个不同的零点x₁，x₂，则（ ）
A．当a＜0时，x₁+x₂＜0，x₁x₂＞0
B．当a＜0时，x₁+x₂＞0，x₁x₂＜0
C．当a＞0时，x₁+x₂＜0，x₁x₂＞0
D．当a＞0时，x₁+x₂＞0，x₁x₂＜0

6. 难度：中等

函数y=sinxsin的最小正周期是（ ）
A．
B．π
C．2π
D．4π

7. 难度：中等

函数f（x）=lnx+2x-6的零点所在的区间为（ ）
A．（1，2）
B．（，2）
C．（2，）
D．（，3）

8. 难度：中等

设集合M是R的子集，如果点x∈R满足：∀a＞0，∃x∈M，0＜|x-x|＜a，称x为集合M的聚点．则下列集合中以1为聚点的有（ ）
①；    
②；    
③Z；    
④{y|y=2^x}．
A．①④
B．②③
C．①②
D．①②④

9. 难度：中等

一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有（ ）
A．12种
B．15种
C．17种
D．19种

10. 难度：中等

已知函数f（x）=a•2^|x|+1（a≠0），定义函数给出下列命题：
①F（x）=|f（x）|； 
②函数F（x）是奇函数；
③当a＜0时，若mn＜0，m+n＞0，总有F（m）+F（n）＜0成立，
其中所有正确命题的序号是（ ）
A．②
B．①③
C．②③
D．①②

二、填空题

11. 难度：中等

函数的定义域为    ．

12. 难度：中等

数列{a_n}的通项公式a_n=ncos，其前n项和为S_n，则S₂₀₁₃=    ．

13. 难度：中等

连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，若记向量=（m，n）与向量的夹角为θ，则θ为锐角的概率是    ．

14. 难度：中等

函数y=log₂（x²-ax+2）在[2，+∞）上恒为正，则实数a的取值范围是    ．

15. 难度：中等

定义在（-∞，0）∪（0，+8）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a_n}，{f（a_n）}仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”．现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞上的如下函数：
①f（x）=2^x；
②f（x）=log₂|x|；
③f（x）=x²；
④f（x）=ln2^x，
则其中是“等比函数”的f（x）的序号为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
（1）sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°
（2）sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°
（3）sin²18°+cos²12°-sin18°cos12°
（4）sin²（-18°）+cos²48°-sin²（-18°）cos48°
（5）sin²（-25°）+cos²55°-sin²（-25°）cos55°
（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

17. 难度：中等

已知函数．
（1）当x∈[2，4]时．求该函数的值域；
（2）若f（x）≥mlog₂x对于x∈[4，16]恒成立，求m的取值范围．

18. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．
（1）证明：PA∥平面BDE；
（2）证明：平面BDE⊥平面PBC．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-alnx（a＞0）
（1）若a=2，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．

20. 难度：中等

已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1），
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）与圆x²+（y+1）²=1相切的直线l：y=kx+t交抛物线于不同的两点M，N，若抛物线上一点C满足（λ＞0），求λ的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=（x²+x-a）e（a＞0）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当x=-5时，f（x）取得极值，求函数f（x）在[m，m+1]（m≥-5）上的最小值．