2012-2013学年福建省厦门外国语中学高一（上）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知a=，集合A={x|x≤2}，则下列表示正确的是（ ）
A．a∈A
B．a∉A
C．{a}∈A
D．a⊆A

2. 难度：中等

设全集U={1、2、3、4、5}，M={3，5}，N={2、3、4}，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A．{1，2，4}
B．{1，3，5}
C．{2，4}
D．{1，2，3，4}

3. 难度：中等

函数，则f（3）=（ ）
A．2
B．3
C．-3
D．9

4. 难度：中等

若幂函数f（x）的图象过点，则f（x）的解析式（ ）
A．f（x）=x^-1
B．f（x）=3x^-2
C．
D．

5. 难度：中等

利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：

x	0.2	0.6	1.0	1.4	1.8	2.2	2.6	3.0	3.4	…
y=3^x	1.149	1.516	2.0	2.639	3.482	4.595	6.063	8.0	10.556	…
y=x^3	0.008	0.036	1.0	2.744	5.832	10.648	17.576	27	39.304	…

那么方程3^x=x³的一个根位于下列区间的是（ ）
A．（0.6，1.0）
B．（1.0，1.4）
C．（1.4，1.8）
D．（1.8，2.2）

6. 难度：中等

函数f（x）=-|x|的图象和函数g（x）=log₂x的图象的交点个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

7. 难度：中等

若为实数，则函数y=x²+3x-5的值域是（ ）
A．（-∞，+∞）
B．[0，+∞）
C．[-7，+∞）
D．[-5，+∞）

8. 难度：中等

给出下列三个等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f（y），f（x+y）=f（x）+f（y），下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）
A．f（x）=3^x
B．f（x）=x^a
C．f（x）=log₂
D．f（x）=kx（k≠0）

9. 难度：中等

设则=（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+2x+1，若存在实数t，当x∈[1，m]时，f（x+t）≤x恒成立，则实数m的最大值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、填空题

11. 难度：中等

已知函数f（x）=的定义域为A，2∉A，则a的取值范围是    ．

12. 难度：中等

计算：=    ．

13. 难度：中等

给出函数，则f（2）=    ．

14. 难度：中等

、2^-3、log_0.53从小到大排列为    ．

15. 难度：中等

若a，b是正常数，a≠b，x，y∈（0，+∞），则，当且仅当时上式取等号．利用以上结论，可以得到函数（）的最小值为    ，取最小值时x的值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

设全集U={x∈Z|-1≤x≤5}，集合A={x∈R|（x-1）（x-2）=0}，集合B=，分别求集合C_UA、A∪B、A∩B．

17. 难度：中等

已知函数是定义域（-1，1）上的奇函数，
（1）求b的值，并写出f（x）的表达式；
（2）试判断f（x）的单调性，并证明．

18. 难度：中等

如图，直角梯形OABC位于直线x=t（0≤t≤5）右侧的图形面积为f（t）．
（1）求函数f（t）的解析式并画出它的图象；
（2）求函数y=f（t）-2t-2的零点．

19. 难度：中等

已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足以下三个条件：
（1）对任意的x∈[0，1]，总有f（x）＞0；
（2）f（1）=1；
（3）若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，则称f（x）为“友谊函数”，请解答下列各题：
①若已知f（x）为“友谊函数”，求f（0）的值并判断函数的单调性；
②函数g（x）=2^x-1在区间[0，1]上是否为“友谊函数”？并给出理由．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+mx+n的图象过点（1，3），且f（-1+x）=f（-1-x）对任意实数都成立，函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于原点对称．
（1）求f（x）与g（x）的解析式；
（2）若F（x）=g（x）-λf（x）在[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=log₂x
（Ⅰ）若f（x）的反函数是函数y=g（x），解方程g（2x）=2g（x）+10；
（Ⅱ）对于任意a、b、c∈[M，+∞），M＞1且a≥b≥c．当a，b，c能作为一个三角形的三边长时，f（a）、f（b）、f（c）也总能作为某个三角形的三边长，试分别探究下面两个问题：
（1）当1＜M＜2时，是否存在a、b、c∈[M，+∞），且a≥b≥c，当a、b、c能作为一个三角形的三边长时，以f（a）、f（b）、f（c）不能作为三角形的三边长．
（2）M≥2，证明：对于任a、b、c∈[M，+∞），且a≥b≥c，当a、b、c能作为一个三角形的三边长时，f（a）、f（b）、f（c）总能作为三角形的三边长．