2013-2014学年浙江省嘉兴一中高三（上）入学摸底数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

集合A={0，2，a}，B={1，a²}，若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4

2. 难度：中等

设a=lge，b=（lge）²，c=lg，则（ ）
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．c＞a＞b
D．c＞b＞a

3. 难度：中等

如果执行程序框图，那么输出的S=（ ）

A．2450
B．2500
C．2550
D．2652

4. 难度：中等

设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的（ ）
A．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ
B．若α∥β，m⊄β，m∥α，则m∥β
C．若α⊥β，m⊥α，则m∥β
D．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n

5. 难度：中等

设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若则=（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设p：0＜x＜1，q：（x-a）[x-（a+2）]≤0，若p是q的充分而不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．[-1，0]
B．（-1，0）
C．（-∞，0]∪[1+∞，）
D．（-∞，-1）∪（0+∞，）

7. 难度：中等

已知向量，向量，则的最大值和最小值分别为（ ）
A．4，0
B．4，0
C．16.0
D．4，4

8. 难度：中等

若a²+b²=2c²（c≠0），则直线ax+by+c=0被圆x²+y²=1所截得的弦长为（ ）
A．
B．1
C．
D．

9. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F与椭圆（a＞b＞0）的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为T，且TF与x轴垂直，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．-1

10. 难度：中等

若函数f（x）=x²+ax+b有两个零点cosα，cosβ，其中α，β∈（0，π），那么在f（-1），f（1）两个函数值中（ ）
A．只有一个小于1
B．至少有一个小于1
C．都小于1
D．可能都大于1

二、填空题

11. 难度：中等

若（a-2i）i=b-i，其中a，b∈R，i是虚数单位，复数a+bi=    ．

12. 难度：中等

如图是某学校抽取的n个学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第3个小组的频数为18，则的值n是    ．

13. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，正视图是一个边长为2的正三角形，侧视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的体积为    ．

14. 难度：中等

已知直线l₁：（k-3）x+（5-k）y+1=0与l₂：2（k-3）x-2y+3=0垂直，则k的值是    ．

15. 难度：中等

若正数x，y满足4x²+9y²+3xy=30，则xy的最大值是    ．

16. 难度：中等

定义在R上的奇函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）=2012^x+，则在R上，函数f（x）零点的个数为    ．

17. 难度：中等

以下四个命题：
①在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB，则B=；
②设，是两个非零向量且，则存在实数λ，使得；
③方程sinx-x=0在实数范围内的解有且仅有一个；
④a，b∈R且a³-3b＞b³-3a，则a＞b；
其中正确的是    ．

三、解答题

18. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知a=2c，且．
（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）当b=1时，求△ABC的面积S的值．

19. 难度：中等

设数列满足a₁=2，a_n+1-a_n=3•2^2n-1
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=na_n，求数列的前n项和S_n．

20. 难度：中等

如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，点M在边DC上，点F在边AB上，且DF⊥AM，垂足为E，若将△ADM沿AM折起，使点D位于D′位置，连接D′B，D′C得四棱锥D′-ABCM．
（Ⅰ）求证：AM⊥D′F；
（Ⅱ）若∠D′EF=，直线D'F与平面ABCM所成角的大小为，求直线AD′与平面ABCM所成角的正弦值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+ax-lnx，a∈R．
（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；
（2）令g（x）=f（x）-x²，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存 在，求出a的值；若不存在，说明理由．

22. 难度：中等

已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是抛物线y²=4x上相异两点，且满足x₁+x₂=2．
（Ⅰ）AB的中垂线经过点P（0，2），求直线A的方程；
（Ⅱ）AB的中垂线交x轴于点M，△AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程．