2009-2010学年黑龙江省哈师大附中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

某商场准备在五一劳动节期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品进行促销活动．
（1）试求选出的3种商品至少有一种日用商品的概率；
（2）商场对选出的A商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高180元，同时允许顾客有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都可获得一定数额的奖金．假设顾客每次抽奖时获奖与否是等概率的．
请问：商场应将中奖奖金数额最高定为多少元，才能使促销方案对自己有利？

2. 难度：中等

一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：

转速x（转/秒）	16	14	12	8
每小时生产有缺点的零件数y（件）	11	9	8	5

（1）利用散点图或相关系数r的大小判断变量y对x是否线性相关？为什么？
（2）如果y对x有线性相关关系，求回归直线方程；
（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？（最后结果精确到0.001．参考数据：，16×11+14×9+12×8+8×5=438，16²+14²+12²+8²=660，11²+9²+8²+5²=291）．

3. 难度：中等

已知f（x）=ax-ln（-x），x∈（-e，0），，其中e是自然常数，a∈R．
（1）讨论a=-1时，f（x）的单调性、极值；
（2）求证：在（1）的条件下，．
（3）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．

4. 难度：中等

已知a∈R，若关于x的方程x²+x+|a-|+|a|=0有实根，求a的取值．

5. 难度：中等

已知曲线C₁、C₂的极坐标方程分别为ρcosθ=3，ρ=4cosθ（ρ≥0，0），求曲线C₁、C₂交点的极坐标．

二、选择题

6. 难度：中等

已知集合M={（x，y）|x+y=2}，N={（x，y）|x-y=4}，那么M∩N为（ ）
A．x=3，y=-1
B．（3，-1）
C．{3，-1}
D．{（3，-1）}

7. 难度：中等

若函数，则f（log₄3）=（ ）
A．
B．
C．3
D．4

8. 难度：中等

若由一个2×2列联表中的数据计算得K²的观测值k≈4.103，那么认为两个变量有关系的把握程度为（ ）
A．95%
B．97.5%
C．99%
D．99.9%

9. 难度：中等

已知x与y之间的一组数据如表，则y与x的线性回归方程=x+必过（ ）

x		1	2	3
y	1	3	5	7

A．点（2，2）
B．点（1.5，0）
C．点（1，2）
D．点（1.5，4）

10. 难度：中等

把一枚硬币连续抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现正面”，则P（B|A）等于（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

关于函数f（x）=2^x-2^-x（x∈R）有下列三个结论：
①f（x）的值域为R；
②f（x）是R上的增函数；
③对任意x∈R，有f（-x）+f（x）=0成立；
其中所有正确的序号为（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③

12. 难度：中等

某大型国有企业为10000名员工定制工作服，设员工的身高（单位：cm）服从正态分布N（173，5²），则适合身高在163cm-183cm范围内员工穿的服装大约要定制（ ）
A．6826套
B．9544套
C．9520套
D．9974套

13. 难度：中等

已知A和B是两个命题，如果A是B的充分但不必要条件，那么¬A是¬B的（ ）
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

14. 难度：中等

设有n个样本x₁，x₂，…x_n，其标准差是S_x，另有n个样本y₁，y₂，，…，y_n，且y_k=3x_k+5，（k=1，2，…，n），其标准差为S_y，则下列关系正确的是（ ）
A．S_y=3S_x+5
B．S_y=3S_x
C．S_y=S_x
D．S_y=S_x+5

15. 难度：中等

设f（x）和g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“密切函数”，[a，b]称为“密切区间”，设f（x）=x²-3x+4与g（x）=2x-3在[a，b]上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是（ ）
A．[1，4]
B．[2，3]
C．[3，4]
D．[2，4]

16. 难度：中等

利用计算机在区间（0，1）上产生两个随机数a和b，则方程有实根的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

17. 难度：中等

在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b=a；当a＜b时，a⊕b=b²．则函数f（x）=（1⊕x）•x-（2⊕x）（x∈[-2，2]）的最大值等于（ ）
A．-1
B．1
C．6
D．12

三、填空题

18. 难度：中等

某校为提高教学质量进行教改实验，设有试验班和对照班．经过两个月的教学试验，进行了一次检测，试验班与对照班成绩统计如下的2×2列联表所示（单位：人），则其中m=    ，n=    ．

	80及80分以下	80分以上	合计
试验班	32	18	50
对照班	12	m	50
合计	44	56	n

19. 难度：中等

如图是样本容量为200的频率分布直方图． 根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在（2，10）内的频率约为    ．

20. 难度：中等

已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c∈{-3，-2，-1，0，1，2，3}，在这些抛物线中，记随机变量X=“|a-b|的取值”，则X的均值EX为    ．

21. 难度：中等

已知定义域为R的函数f （x）对任意实数x，y满足f（x+y）+f（x-y）=2f （x）cosy，且f（0）=0，f（）=1．给出下列结论：
①f（）=
②f（x）为奇函数  
③f（x）为周期函数  
④f（x）在（0，π）内为单调函数
其中正确的结论是    ．（ 填上所有正确结论的序号）．

四、解答题

22. 难度：中等

Y已知p：|1-|≤2，q：x²-2x+1-m²≤0（m＞0）．若“非p”是“非q”的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．

23. 难度：中等

袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1，2，3，4）．现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号．
（Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差；
（Ⅱ）若η=aξ+b，Eη=1，Dη=11，试求a，b的值．