2010-2011学年河北省唐山一中高二（下）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数 （i为虚数单位）等于（ ）
A．1
B．-1
C．i
D．-i

2. 难度：中等

设函数f（x）=x³-3x，则f（x）在[-2，2]上最大值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

3. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥面A₁B₁C₁，正（主）视图、俯视图如图，则三棱柱的侧（左）视图的面积为（ ）

A．4
B．
C．
D．

4. 难度：中等

设复数z满足条件|z|=1那么的最大值是（ ）
A．3
B．4
C．
D．

5. 难度：中等

已知函数y=f（x），其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）（ ）
A．在（-∞，0）上为减函数
B．在x=0处取极小值
C．在（4，+∞）上为减函数
D．在x=2处取极大值

6. 难度：中等

复数的虚部是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：
①若α∥β，则l⊥m；
②若l⊥m，则α∥β；
③若α⊥β，则l∥m；
④若l∥m，则α⊥β
其中正确命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

8. 难度：中等

设函数f（x）=x³+ax²-9x-1（a＜0），若曲线f（x）的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，则a的值为（ ）
A．-3
B．-12
C．-1
D．-9

9. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E是A₁B₁的中点，则E到平面ABC₁D₁的距离为 （ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设z=log₂（m²-3m-3）+ilog₂（m-3）（m∈R），若z对应的点在直线x-2y+1=0上，则m的值是（ ）
A．
B．
C．
D．15

11. 难度：中等

直线y=kx+b与曲线y=x³+ax+1相切于点（2，3），则b的值为（ ）
A．-3
B．9
C．-15
D．-7

12. 难度：中等

棱长为1的正四面体内切球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

如图，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°且PA=AC=BC=a，则异面直线PB与AC所成的角的正切值等于    ．

14. 难度：中等

函数f（x）=2x³-6x²+7的单调减区间是    ．

15. 难度：中等

曲线y=x³-2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角的弧度数为    ．

16. 难度：中等

已知正六棱锥的底面边长为1，体积为，其侧棱与底面所成的角等于    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-ax-1．
（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（2）是否存在实数a，使得f（x）在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说出理由．

18. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：平面PAB⊥平面PCD．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-3ax²+x，a≠0
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若a=，直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．

20. 难度：中等

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，，E是DD₁的中点．
（Ⅰ）求直线B₁D和平面A₁ADD₁所成角的大小；
（Ⅱ）求证：B₁D⊥AE；
（Ⅲ）求二面角C-AE-D的大小．

21. 难度：中等

已知ω=z+i（z∈C）且为纯虚数，求M=|ω+1|²+|ω-1|²的最大值及相应的ω值．

22. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）=x²（ax-3），其中a为常数．
（1）若x=l是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（2）若函数g（x）=f（x）+f′（x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，求正数a的取值范围．