2010-2011学年河北省邢台市南宫中学高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+c，且f′（1）=2，则a的值为（ ）
A．1
B．
C．-1
D．0

2. 难度：中等

函数f（x）=3x-4x³（x∈[0，1]）的最大值是（ ）
A．1
B．
C．0
D．-1

3. 难度：中等

复数z=（a²-2a）+（a²-a-2）i（a∈R）对应的点在虚轴上，则（ ）
A．a≠2或a≠1
B．a≠2且a≠1
C．a=2或a=0
D．a=0

4. 难度：中等

从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ）．
A．40种
B．60种
C．100种
D．120种

5. 难度：中等

（x+）ⁿ的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44，则展开式中的常数项是（ ）
A．第3项
B．第4项
C．第7项
D．第8项

6. 难度：中等

图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是（ ）
A．25
B．66
C．91
D．120

7. 难度：中等

若随机变量X～B（6，），则P（x=3）等于（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

给出以下命题：
（1）若，则f（x）＞0； 
（2）；
（3）f（x）的原函数为F（x），且F（x）是以T为周期的函数，则；
其中正确命题的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．0

9. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则的最小值为（ ）
A．3
B．
C．2
D．

10. 难度：中等

函数y=sin（2x²+x）导数是（ ）
A．y′=cos（2x²+x）
B．y′=2xsin（2x²+x）
C．y′=（4x+1）cos（2x²+x）
D．y′=4cos（2x²+x）

11. 难度：中等

用反证法证明：若整系数一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（ ）
A．假设a、b、c都是偶数
B．假设a、b、c都不是偶数
C．假设a、b、c至多有一个偶数
D．假设a、b、c至多有两个偶数

12. 难度：中等

已知f（n）=+++…+，则f（n）中共有几项（ ）
A．n
B．n+1
C．n²-n
D．n²-n+1

二、填空题

13. 难度：中等

函数y=x³-x²-x的单调增区间为    ．

14. 难度：中等

已知随机变量X服从正态分布N（2，σ²），P（X≤4）=0.84，则P（X≤0）等于     ．

15. 难度：中等

已知f（n）=1+++L+（n∈N^*），用数学归纳法证明f（2ⁿ）＞时，f（2^k+1）-f（2^k）等于    ．

16. 难度：中等

在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率P的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

计算下列定积分．
（1）∫_-4³|x|dx
（2）．

18. 难度：中等

已知曲线 y=x³+x-2 在点 P处的切线 l₁ 平行直线4x-y-1=0，且点 P在第三象限，
（1）求P的坐标；
（2）若直线 l⊥l₁，且 l 也过切点P，求直线l的方程．

19. 难度：中等

有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内．
（1）共有多少种放法？
（2）恰有一个盒内不放球，有多少种放法？
（3）恰有一个盒内有2个球，有多少种放法？
（4）恰有两个盒内不放球，有多少种放法？

20. 难度：中等

袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等．用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：
（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（2）随机变量ξ的概率分布和数学期望；
（3）计分介于20分到40分之间的概率．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ln|x|（x≠0），函数g（x）=（x≠0）
（1）当x≠0时，求函数y=g（x）的表达式；
（2）若a＞0，函数y=g（x）在（0，+∞）上的最小值是2，求a的值；
（3）在（2）的条件下，求直线y=与函数y=g（x）的图象所围成图形的面积．

22. 难度：中等

若不等式对一切正整数n都成立，
（1）猜想正整数a的最大值，
（2）并用数学归纳法证明你的猜想．

23. 难度：中等

已知函数f（x）=+x+（a-1）lnx+15a，其中a＜0，且a≠1
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）设函数g（x）= （e是自然对数的底数），是否存在a，使g（x）在[a，-a]上是减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．