2012-2013学年湖北省黄石市有色一中高一（下）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知，，则与的数量积为（ ）
A．（-6，4）
B．（-1，5）
C．-2
D．0

2. 难度：中等

已知数列{a_n}是等比数列，且，a₄=-1，则{a_n}的公比q为（ ）
A．2
B．-
C．-2
D．

3. 难度：中等

不等式x（1-2x）＞0的解集（ ）
A．{x|0}
B．{x|x}
C．{x|x或x＜0}
D．{x|x＜0或0＜x}

4. 难度：中等

若向量=（1，1），=（-1，1），=（4，2），则=（ ）
A．3+
B．3-
C．-+3
D．+3

5. 难度：中等

已知数列，则是它的第（ ）项．
A．19
B．20
C．21
D．22

6. 难度：中等

在△ABC中，若，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形

7. 难度：中等

已知等比数列{a_n}中，各项都是正数，且a₁，，2a₂成等差数列，则=（ ）
A．1+
B．1-
C．3+2
D．3-2

8. 难度：中等

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a²-b²=bc，sinC=2sinB，则A=（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°

9. 难度：中等

若x＞1，则有（ ）
A．最小值1
B．最大值1
C．最小值-1
D．最大值-1

10. 难度：中等

在△ABC所在的平面内有一点P，满足，则△PBC与△ABC的面积之比是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

在数列{a_n}中，首项a₁=1，a_n=2a_n-1+1（n≥2，n∈N），则a₄=    ．

12. 难度：中等

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且a²，b²，c²成等差数列，则
cosB=    ．

13. 难度：中等

一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为    km．

14. 难度：中等

已知△ABC中，向量=（x，2x），=（3x，2），且∠BAC是锐角，则x的取值范围是    ．

15. 难度：中等

已知，，||=2，||=3，任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，点C为线段AB中点，则=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

（Ⅰ）已知x＞0，y＞0，x+2y=1，求的最小值．
（Ⅱ）已知a，b∈（0，+∞），求证：．

17. 难度：中等

设{a_n}为等差数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，已知S₇=7，S₁₅=75．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=C（注释：b_n等于C的a_n次方），（其中C为常数，且C≠0，n∈N^*），求证：数列{b_n}为等比数列．

18. 难度：中等

已知等差数列{a_n}满足：a₃=7，a₅+a₇=26．{a_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）令（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

19. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求sinB+sinC的最大值．

20. 难度：中等

已知=（cosx，sinx），=（cosβ，sinβ）
（1）求证：（）⊥（-）；
（2）若|k|=||，（k＞0），将与数量积表示为关于k的函数f（k）；
（3）求f（k）的最小值及相应，夹角θ

21. 难度：中等

设数列{a_n}前n项和为S_n，且（3-m）S_n+2ma_n=m+3（n∈N^*）．其中m为实常数，m≠-3且m≠0．
（1）求证：{a_n}是等比数列；
（2）若数列{a_n}的公比满足q=f（m）且，求{b_n}的通项公式；
（3）若m=1时，设T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n（n∈N^*），是否存在最大的正整数k，使得对任意n∈N^*均有成立，若存在求出k的值，若不存在请说明理由．