2013-2014学年吉林省通化一中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={1，2，3，4，5}，集合B={x|x=2ⁿ，n∈N^*}，则A∩B等于（ ）
A．{1，2}
B．{2，3}
C．{2，4}
D．{1，2，4}

2. 难度：中等

下列命题中为真命题的是（ ）
A．∀x∈R，2x≥
B．∃x∈R，x²=1-
C．∀x∈R，x²≥
D．∃x∈R，x²=x-1

3. 难度：中等

已知函数f（x）为偶函数，且当x＞0，f（x）=log₂x+1，则f（-4）=（ ）
A．3
B．-3
C．log₂5
D．-log₂5

4. 难度：中等

在下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．y=e^x和y=-e^-x
B．y=x和
C．y=lnx²和y=2ln
D．和

5. 难度：中等

在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f'（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极值点（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

7. 难度：中等

若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（ ）
A．（-2，2）
B．[-2，2）
C．[-2，2]
D．（-2，2]

8. 难度：中等

已知对任意x∈R，恒有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则当x＜0时有（ ）
A．f′（x）＞0，g′（x）＞0
B．f′（x）＞0，g′（x）＜0
C．f′（x）＜0，g′（x）＞0
D．f′（x）＜0，g′（x）＜0

9. 难度：中等

已知直线m、n及平面α，下列命题中的真命题是（ ）
A．若m⊥n，m⊥α，则n∥α
B．若m∥n，m⊥α，则n∥α
C．若m∥α，n∥α，则m∥n
D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n

10. 难度：中等

已知f（x）是R上的增函数，且函数f（x）的部分对应值如下表：

x	-1		1	2	3	4
f（x）	-2	-1			1	2

则-1＜f（x+1）＜1的解集是（ ）
A．（-1，2）
B．（1，3）
C．（-∞，-1）∪[3，+∞）
D．（-∞，-1]∪[2，+∞）

11. 难度：中等

若∃x∈R，使ae^x≤x（e是自然对数的底数），则a的取值范围是（ ）
A．（-∞，0]
B．
C．（-∞，1]
D．（-∞，e]

12. 难度：中等

下面给出的4个命题：
①已知命题p：∀x₁，x₂∈R，，则¬p：∃x₁，x₂∈R，；
②函数f（x）=2^-x-sinx在[0，2π]上恰好有2个零点；
③对于定义在区间[a，b]上的连续不断的函数y=f（x），存在c∈（a，b），使f（c）=0的必要不充分条件是f（a）f（b）＜0；
④对于定义在R上的函数f（x），若实数x满足f（x）=x，则称x是f（x）的不动点．若f（x）=x²+ax+1不存在不动点，则a的取值范围是（-1，3）．
其中正确命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、填空题

13. 难度：中等

函数y=lnx在点A（1，0）处的切线方程为    ．

14. 难度：中等

和棱长为2的正方体6个面都相切的球的表面积是    ．

15. 难度：中等

已知函数在[-4，-2]上的最大值为是    ．

16. 难度：中等

已知函数，若f（x）＞kx对任意的x∈R恒成立，则k的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知命题p：|2-x|＞1，q：．若（¬p）∧q是真命题，求x的取值范围．

18. 难度：中等

统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：x+8（0＜x≤120）．已知甲、乙两地相距100千米．
（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

19. 难度：中等

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，D分别是AB的中点．
（Ⅰ）证明：BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ）设AA₁=AC=CB=2，，求三棱锥D-A₁CA的体积．

20. 难度：中等

已知定义在R上的奇函数f（x），对任意实数x，满足f（x+2）=-f（x），且当0＜x≤1时，f（x）=3^x+1．
（Ⅰ）求f（0）、f（2）和f（-2）的值；
（Ⅱ）证明函数f（x）是以4为周期的周期函数；
（Ⅲ）当-1≤x≤3时，求f（x）的解析式（结果写成分段函数形式）．

21. 难度：中等

已知函数
（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）在[1，3]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）当时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若f（x）+3≥0恒成立，求a的取值范围．

22. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E．证明：
（Ⅰ）AC•BD=AD•AB；
（Ⅱ）AC=AE．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，圆，圆
（I）在以圆O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C₁，C₂的极坐标方程，并求出圆C₁，C₂的交点坐标（用坐标表示）；
（Ⅱ）求圆C₁与C₂的公共弦的参数方程．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|-2≤x≤1}．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若恒成立，求k的取值范围．