2012-2013学年湖北省武汉市高二（下）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

双曲线的焦点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

抛物线y²=4x上一点M（x，y）到焦点的距离为3，则x=（ ）
A．0
B．
C．1
D．2

3. 难度：中等

若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

函数 f（x）=lnx在点 M（x，f（x））处的切线与直线平行，则x=（ ）
A．
B．
C．
D．2

5. 难度：中等

若命题p的否命题是命题q，命题q的逆否命题是命题r，则r是p的（ ）
A．逆否命题
B．否命题
C．逆命题
D．原命题

6. 难度：中等

函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

7. 难度：中等

“cosα＞0”是“x²+y²cosα=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ） 条件．
A．充分而非必要
B．充要
C．必要而非充分
D．既非充分又非必要

8. 难度：中等

已知双曲线的实轴在y轴上．且焦距为8，则此双曲线的渐近线的方程为（ ）
A．
B．
C．y=±3
D．

9. 难度：中等

已知f（2）=-g′（2）=-2，g（2）=f′（2）=1，函数F（x）=f（x）[g（x）-2]，则F′（2）=（ ）
A．-5
B．5
C．-3
D．3

10. 难度：中等

已知圆O′：（x-1）²+y²=36，点A（-1，0），M是圆上任意一点，线段AM的中垂线l和直线O′M相交于点Q，则点Q的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

命题p：“∃x∈R，使得x²+x+1＜0”，则￢p：    ．

12. 难度：中等

曲线在点（1，1）处的切线方程为    ．

13. 难度：中等

顶点在原点，对称轴为x轴且过点（-4，4）的抛物线的标准方程是    ．

14. 难度：中等

椭圆的焦点为F₁，F₂，点P在椭圆上，且线段PF₁的中点恰好在y轴上，|PF₁|=λ|PF₂|，则λ=    ．

15. 难度：中等

函数f（x）=-x的单调递增区间为    ．

16. 难度：中等

如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是    ．

17. 难度：中等

有以下命题：
①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；
②椭圆的离心率为e，则e越接近于1，椭圆越圆；e越接近于0，椭圆越扁．
③不是奇函数的函数的图象不关于原点对称；
④已知函数y=f（x）的定义域为（a，b），若f（x）在定义域内有极大值，则f（x）在定义域内必有最大值．
其中，错误的命题是    ．（写出所有你认为错误的命题的序号）

三、解答题

18. 难度：中等

已知命题p：∀x∈R，x²-a≥0，命题q：∃x∈R，x²+2ax+2-a=0，命题“p或q”为假，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x（x-c）²（其中c为常数，c∈R）
（Ⅰ）若函数f（x）在定义域内有极值，求实数c的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）在x=2处取得极大值，求实数c的值．

20. 难度：中等

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，直线l过A（a，0），B（0，-b）两点，原点O到直线l的距离是．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若•=-23，求直线m的方程．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+bx²+ax+d的图象过点P（0，2），且在点M（-1，f（-1））处的切线方程为6x-y+7=0．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间．

22. 难度：中等

如图，已知直线l：x=my+4（m∈R）与x轴交于点P，交抛物线y²=2ax（a＞0）于A，B两点，坐标原点O是PQ的中点，记直线AQ，BQ的斜率分别为k₁，k₂．
（Ⅰ）若P为抛物线的焦点，求a的值，并确定抛物线的准线与以AB为直径的圆的位置关系．
（Ⅱ）试证明：k₁+k₂为定值．