2012-2013学年重庆一中高二（下）4月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设函数f（x）=x²-1，则f（x）在x=1处的导数f′（1）=（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

2. 难度：中等

i是虚数单位，复数=（ ）
A．2+i
B．2-i
C．-2+i
D．-2-i

3. 难度：中等

不等式|2x-1|＜1的解集为（ ）
A．
B．（-∞，1）
C．
D．（0，1）

4. 难度：中等

若a＜b＜0，则下列不等式不成立的是（ ）
A．|a|＞|b|
B．
C．a³＜b³
D．

5. 难度：中等

已知积分，则实数k=（ ）
A．2
B．-2
C．1
D．-1

6. 难度：中等

用数学归纳法证明1+2+3+…+n²=，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上（ ）
A．k²+1
B．（k+1）²
C．
D．（k²+1）+（k²+2）+（k²+3）+…+（k+1）²

7. 难度：中等

观察下列事实：|x|+|y|=1的不同整数解（x，y）的个数为4，|x|+|y|=2的不同整数解（x，y）的个数为8，|x|+|y|=3不同整数解（x，y）的个数为12，…，则|x|+|y|=10的不同整数解（x，y）的个数为（ ）
A．32
B．40
C．80
D．100

8. 难度：中等

如图是一个简单几何体的三视图，其正视图和左视图是边长为2cm的正三角形，其俯视图是边长为2cm的正方形，则该几何体的体积为（ ）cm³

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意正数a、b，若a＜b，则必有（ ）
A．af（b）≤bf（a）
B．bf（a）≤af（b）
C．af（a）≤f（b）
D．bf（b）≤f（a）

10. 难度：中等

对任意正数x，y，不等式恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．
B．
C．[1，+∞）
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知从A地到B地有2条公路可走，从B地到C地有3条小路可走，又从A地不过B地到C地有1条水路可走，那么从A地到C地的不同走法一共有    种．

12. 难度：中等

函数f（x）=x²-2lnx的单调减区间是    ．

13. 难度：中等

不等式|2x+1|-|x-4|＞2的解集为    ．

14. 难度：中等

已知数列a_n=2n-1（n∈N^*），把数列{a_n}的各项排成如图所示的三角形数阵，记（m，n）表示该数阵中第m行中从左到右的第n个数，则S（10，6）对应于数阵中的数是    ．

15. 难度：中等

如图，在三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA=5，PB=4，PC=3．设点M为底面ABC内一点，定义f（M）=（m，n，p），其中m，n，p分别为三棱锥M-PAB、M-PBC、M-PCA的体积．若f（M）=（4，3x，3y），且ax-8xy+y≥0恒成立，则正实数a的取值范围是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知复数z=m（m-1）+（m²+2m-3）i（m∈R）
（1）若z是实数，求m的值；
（2）若z是纯虚数，求m的值；
（3）若在复平面C内，z所对应的点在第四象限，求m的取值范围．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=|x-a|．
（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=，S_n=n（2n-1）a_n （n∈N*）．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

19. 难度：中等

如图，△PAC与△ABC是均以AC为斜边的等腰直角三角形，AC=4，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，G为OC的中点，且PO⊥平面ABC．
（1）证明：FE∥平面BOG；
（2）求二面角EO-B-FG的余弦值．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=-．
（1）求f（x）的极值；
（2）当x∈[0，1]时，求f（x）的值域；
（3）设a≥1，函数g（x）=x³-3a²x-2a，x∈[0，1]，若对于任意x₁∈[0，1]，总存在x∈[0，1]，使得g（x）=f（x₁）成立，求a的取值范围．

21. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx-1，且不等式|f（x）|≤2|2x²-1|的实数x恒成立，数列{a_n}满足a₁=1，．
（1）求a，b的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证．