2012-2013学年江苏省南通市海安中学高二（下）6月月考数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知集合A={-1，2，4}，B={0，2，6}，则A∩B=    ．

2. 难度：中等

如果复数（m²+i）（1+mi）是实数，则实数m=    ．

3. 难度：中等

已知cosx=（0＜x＜），则sin2x的值为    ．

4. 难度：中等

若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x+y=5上的概率为    ．

5. 难度：中等

已知函数f（x）=，则f（f（-2））的值为    ．

6. 难度：中等

执行如图的程序框图，若p=4，则输出的S=    ．

7. 难度：中等

直线y=x+b平分圆x²+y²-8x+2y+8=0的周长，则b=    ．

8. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的各项均为正数，若a₁=3，前三项的和为21，则a₄+a₅+a₆=    ．

9. 难度：中等

已知实数x，y满足，则当z=3x-y取得最小值时（x，y）=    ．

10. 难度：中等

在R上定义运算⊙：a⊙b=ab+2a+b，则满足x⊙（x-2）＜0的实数x的取值范围为    ．

11. 难度：中等

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，D为斜边BC的中点，则的值为    ．

12. 难度：中等

已知函数，，则该函数的值域为    ．

13. 难度：中等

把数列{}的所有项按照从大到小，左大右小的原则写成如图所示的数表，第k行有2^k-1个数，第k行的第s个数（从左数起）记为（k，s），则可记为    ．

14. 难度：中等

如图放置的边长为1的正三角形PAB沿x轴滚动，设顶点P（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系式是y=f（x），y=f（x）在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积记为S，则S=    ．

二、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，，BC=1，．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）求的值．

16. 难度：中等

如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE⊥平面BCE；
（2）求证：AE∥平面BFD．

17. 难度：中等

如图，在半径为30cm的圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A、C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长AB=xcm，圆柱的体积为Vcm³．
（1）写出体积V关于x的函数关系式；
（2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积V最大？

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x+的定义域为（0，+∞），且f（2）=2+．设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N．
（1）求a的值．
（2）问：|PM|•|PN|是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．
（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．

19. 难度：中等

已知椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别A、B，椭圆过点（0，1）且离心率e=．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆上异于A，B两点的任意一点P作PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q，且PQ=HP，过点B作直线l⊥x轴，连结AQ并延长交直线l于点M，N为MB的中点，试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系．

20. 难度：中等

已知等差数列{a_n} 中，a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，令b_n=a_n•a_n+1，数列{}的前n项和为T_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：T_n＜；
（3）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O外一点，且AC=AB，BC交⊙O于点D．已知BC=4，AD=6，AC交⊙O于点E，求四边形ABDE的周长．

22. 难度：中等

已知二阶矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量为，属于特征值3的一个特征向量为，求矩阵A．

23. 难度：中等

已知直线l的参数方程：（t为参数）和圆C的极坐标方程：ρ=2sin（），判断直线l和⊙C的位置关系．

24. 难度：中等

已知m，n是正数，证明：≥m²+n²．

25. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，PA=CD=4，求二面角B-PC-A的余弦值．

26. 难度：中等

已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现在从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球均为黑色球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．