2012-2013学年河北省保定市高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数（i为虚数单位）的模是（ ）
A．
B．
C．5
D．8

2. 难度：中等

在极坐标系中，已知点P（2，），则过点P且平行于极轴的直线的方程是（ ）
A．ρsinθ=1
B．ρsinθ=
C．ρcosθ=1
D．ρcosθ=

3. 难度：中等

正弦函数是奇函数（大前提），f（x）=sin（2x+1）是正弦函数（小前提），因此f（x）=sin（2x+1）是奇函数（结论），以上推理（ ）
A．结论正确
B．大前提错误
C．小前提错误
D．以上都不对

4. 难度：中等

记I为虚数集，设a，b∈R，x，y∈I．则下列类比所得的结论正确的是（ ）
A．由a•b∈R，类比得x•y∈I
B．由a²≥0，类比得x²≥0
C．由（a+b）²=a²+2ab+b²，类比得（x+y）²=x²+2xy+y²
D．由a+b＞0⇒a＞-b，类比得x+y＞0⇒x＞-y

5. 难度：中等

设a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（ ）
A．
B．
C．|a|＞-b
D．

6. 难度：中等

已知抛物线C₁的参数方程为（t为参数），圆C₂的极坐标方程为ρ=r（r＞0），若斜率为1的直线经过抛物线C₁的焦点，且与圆C₂相切，则r=（ ）
A．1
B．
C．
D．2

7. 难度：中等

方程x³-6x²+9x-10=0的实根个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

8. 难度：中等

（+x）dx=（ ）
A．ln2+
B．ln2+
C．ln2-
D．ln2+3

9. 难度：中等

已知m-|x-2|＞0的解集为（-1，5），则m的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

10. 难度：中等

由曲线y=x²+1，直线x+y=3以及两坐标轴所围成的图形的面积S的值为（ ）
A．2
B．
C．
D．

11. 难度：中等

设0＜m＜，若+≥k恒成立，则k的最大值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

12. 难度：中等

已知f（x）=alnx+x²（a＞0），若对任意两个不等的正实数x₁，x₂，都有＞2恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．（0，1]
B．（1，+∞）
C．（0，1）
D．[1，+∞）

二、填空题

13. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程是（φ为参数，0≤φ＜2π），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是    ．

14. 难度：中等

二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr²，观察发现S′=l；三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr²，三维测度（体积）V=πr³，观察发现V′=S．则四维空间中“超球”的三维测度V=8πr³，猜想其四维测度W=    ．

15. 难度：中等

若实数x、y、m满足|x-m|＞|y-m|，则称x比y远离m．若x²-1比1远离0，则x的取值范围是    ．

16. 难度：中等

已知z，ω为复数，i为虚数单位，（1+3i）•z为纯虚数，ω=，且|ω|=5，则复数ω=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知z为复数，z+2i和均为实数，其中i是虚数单位．
（Ⅰ）求复数z；
（Ⅱ）若复数（z+ai）²在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．

18. 难度：中等

请观察以下三个式子：
①1×；
②1×；
③1×，
归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明之．

19. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|x-1|+|x-a|（a∈R）
（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；
（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．

20. 难度：中等

已知x=1是函数f（x）=（ax-2）e^x的一个极值点．（a∈R）
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）当x₁，x₂∈[0，2]时，证明：f（x₁）-f（x₂）≤e．

21. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为，
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程：
（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当a变化时，求|AB|的最小值．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=lnax-（a≠0）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=1时，是否存在过点（1，-1）的直线与函数y=f（x）的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．