2012-2013学年湖北省襄阳四中、龙泉中学、荆州中学联考高二（下）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

椭圆的焦距为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10

2. 难度：中等

设f（x）=3x²e²，则f′（2）=（ ）
A．24e
B．24e²
C．12e
D．12e²

3. 难度：中等

下列命题中为真命题的是（ ）
A．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题
B．命题“x＞1，则x²＞1”的否命题
C．命题“若x=1，则x²+x-2=0”的否命题
D．命题“若x²＞0，则x＞1”的逆否命题

4. 难度：中等

设P为双曲线上的一点，F₁，F₂是该双曲线的两个焦点，若|PF₁|：|PF₂|=3：2，则△PF₁F₂的面积为（ ）
A．
B．12
C．
D．24

5. 难度：中等

命题P：若x，y∈R．则|x|+|y|＞1是|x+y|＞1的充分而不必要条件；命题q：函数y=的定义域是（-∞，-1]∪[3，+∞），则（ ）
A．“p或q”为假
B．“p∧q”为真
C．“p∧￢q”为真
D．“￢p∧q”为真

6. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为[-1，4]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．

x	-1		2	3	4
f（x）	1	2		2

当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a的零点的个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

7. 难度：中等

已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（3-x），且，已知x₁＜x₂，x₁+x₂＜3，则（ ）
A．f（x₁）＜f（x₂）
B．f（x₁）＞f（x₂）
C．f（x₁）+f（x₂）＜0
D．f（x₁）+f（x₂）＞0

9. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于（ ）
A．
B．
C．3
D．9

10. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+2bx+c（a，b，c∈R），且函数f（x）在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，则z=（a+3）²+b²的取值范围（ ）
A．（，2）
B．（，4）
C．（1，2）
D．（1，4）

二、填空题

11. 难度：中等

已知关于x的不等式ax-b＜0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式的解集是    ．

12. 难度：中等

抛物线y=-x²上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是   

13. 难度：中等

函数y=a^1-x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0（mn＞0）上，则的最小值为    ．

14. 难度：中等

曲线y=cosx- 在x=处的切线方程是    ．

15. 难度：中等

已知动圆E与圆A：（x+4）²+y²=2外切，与圆B：（x-4）²+y²=2内切，则动圆圆心E的轨迹方程为    ．

16. 难度：中等

若不等式|x-1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是    ．

17. 难度：中等

已知曲线y=（a-3）x³+lnx存在垂直于y轴的切线，函数f（x）=x³-ax²-3x+1在[1，2]上单调递减，则a的范围为    ．

三、解答题

18. 难度：中等

设函数f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R．
（1）解不等式f（x）≤5；
（2）若的定义域为R，求实数m的取值范围．

19. 难度：中等

设命题p：f（x）=在区间（2，+∞）上是减函数；命题q：x₁，x₂是x²-ax-2=0（a∈[-1，1]）的两个实根，不等式m²+5m+3≥|x₁-x₂|对任意a∈[-1，1]都成立．若“p且q为真”，试求实数m的取值范围．

20. 难度：中等

如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x，梯形面积为S．
（Ⅰ）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；
（Ⅱ）求面积S的最大值．

21. 难度：中等

已知线段，CD的中点为O，动点A满足AC+AD=2a（a为正常数）．
（1）建立适当的直角坐标系，求动点A所在的曲线方程；
（2）若a=2，动点B满足BC+BD=4，且OA⊥OB，试求△AOB面积的最大值和最小值．

22. 难度：中等

已知函数，（其中常数m＞0）
（1）当m=2时，求f（x）的极大值；
（2）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；
（3）当m∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x₁，f（x₁））、Q（x₂，f（x₂）），使得曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，求x₁+x₂的取值范围．