2012-2013学年福建师大附中高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

袋中有2个白球，3个黑球，从中依次取出2个，则取出2个都是白球的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

右表提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中t的值为（ ）

x	3	4	5	6
y	2.5	t	4	4.5

A．3
B．3.15
C．3.5
D．4.5

3. 难度：中等

直线y=2x+1的参数方程可以是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）=0.6826，则P（X＞4）=（ ）
A．0.1588
B．0.1587
C．0.1586
D．0.1585

5. 难度：中等

从1.2.3.4.5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

2013年第12届全国运动会将在沈阳举行，某校4名大学生申请当A，B，C三个比赛项目的志愿者，组委会接受了他们的申请，每个比赛项目至少分配一人，每人只能服务一个比赛项目，若甲要求不去服务A比赛项目，则不同的安排方案共有（ ）
A．20种
B．24种
C．30种
D．36种

7. 难度：中等

设A=，则矩阵A的一个特征值λ和对应的一个特征向量为（ ）
A．λ=3，=（）
B．λ=-1，=（）
C．λ=3，（）
D．λ=-1，=（）

8. 难度：中等

若（x²+1）（x-3）⁹=a+a₁（x-2）+a₂（x-2）²+a₃（x-2）³+…+a_n（x-2）ⁿ，则a₁+a₂+…+a₁₁的值为（ ）
A．0
B．-5
C．5
D．255

9. 难度：中等

二项式（）ⁿ的展开式中含有x⁴的项，则正整数n的最小值是（ ）
A．8
B．6
C．12
D．4

10. 难度：中等

已知等式x⁴=（x+1）⁴+b₁（x+1）³+b₂（x+1）²+b₃（x+1）+b₄，则b₁，b₂，b₃，b₄的值分别为（ ）
A．0，0，0，0
B．-4，6，-3，0
C．4，-6，4，-1
D．-4，6，-4，1

11. 难度：中等

如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，若第n行中从左至右第14与第15个数的比为2：3，则n的值为（ ）

A．32
B．33
C．34
D．35

12. 难度：中等

如图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，当开关合上时，电路畅通的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

随机变量ξ～B（3，），则E（3ξ+1）的值为    ．

14. 难度：中等

函数f（x）=4x+（x＞0）的最小值为    ．

15. 难度：中等

设a，b，c均为正数，且a+b+c=12，则++的最小值为    ．

16. 难度：中等

给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相连的着色方案如图所示：由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有    种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有    种，（结果用数值表示）

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数f（x）=|x-3|-2，g（x）=-|x+1|+4．
（Ⅰ）若不等式f（x）+g（x）＞3，求x的取值范围；
（Ⅱ）若不等式f（x）-g（x）≥m+1的解集为R，求m的取值范围．

18. 难度：中等

选修：4-2：矩阵与变换
若圆C：x²+y²=1在矩阵（a＞0，b＞0）对应的变换下变成椭圆E：，求矩阵A的逆矩阵A^-1．

19. 难度：中等

“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：

	男性	女性	合计
反感	10
不反感		8
合计			30

已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是．
（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整（在答题卷上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料判断是否有95%的把握认为反感“中国式过马路”与性别有关？
（Ⅱ）若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为X，求X的分布列．
附：，其中

P（K^2≥k	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

20. 难度：中等

已知曲线C的极坐标方程为ρ=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，直线l的参数方程，（t为参数）．
（Ⅰ）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，在曲线C′上求一点M，使点M到直线l的距离最小，并求出最小距离．

21. 难度：中等

甲、乙两人玩猜数字游戏，规则如下：
①连续竞猜3次，每次相互独立；
②每次竟猜时，先由甲写出一个数字，记为a，再由乙猜甲写的数字，记为b，已知a，b∈{0，1，2，3，4，5}，若|a-b|≤1，则本次竞猜成功；
③在3次竞猜中，至少有2次竞猜成功，则两人获奖．
（I）求甲乙两人玩此游戏获奖的概率；
（Ⅱ）现从6人组成的代表队中选4人参加此游戏，这6人中有且仅有2对双胞胎记选出的4人中含有双胞胎的对数为X，求X的分布列和期望．

22. 难度：中等

规定A=x（x-1）…（x-m+1），其中x∈R，m为正整数，且=1，这是排列数A（n，m是正整数，n≤m）的一种推广．
（Ⅰ） 求A的值；
（Ⅱ）排列数的两个性质：①A=nA，②A+mA=A（其中m，n是正整数）．是否都能推广到A（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由；
（Ⅲ）已知函数f（x）=A-4lnx-m，试讨论函数f（x）的零点个数．