2012-2013学年湖北省襄阳市宜城三中高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列命题既是全称命题又是真命题的个数是（ ）
①所有的质数（素数）都是奇数；
②∀x∈R，（x-1）²+1≥1；
③有的无理数的平方还是无理数．
A．0
B．1
C．2
D．3

2. 难度：中等

到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ）
A．x-y=0
B．x+y=0
C．|x|-y=0
D．|x|-|y|=0

3. 难度：中等

椭圆上一点M到焦点F₁的距离为2，N是MF₁的中点，O是椭圆中心，则|ON|的值是（ ）
A．2
B．4
C．8
D．

4. 难度：中等

已知点A（-3，1，-4），则点A关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A．（-3，-1，4）
B．（-3，-1，-4）
C．（3，1，4）
D．（3，-1，-4）

5. 难度：中等

若=（1，-2，2）是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α法向量的是（ ）
A．（1，-2，0）
B．（0，-2，2）
C．（2，-4，4）
D．（2，4，4）

6. 难度：中等

已知、、是两两垂直的单位向量，则||=（ ）
A．14
B．
C．4
D．2

7. 难度：中等

抛物线y²=8x的焦点到准线的距离是（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8

8. 难度：中等

下列各组向量中不平行的是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

条件p：x＞1，y＞1，条件q：x+y＞2，xy＞1，则条件p是条件q的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．即不充分也不必要条件

10. 难度：中等

已知F是椭圆（a＞b＞0）的左焦点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，OP∥AB（O为原点），则该椭圆的离心率是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

抛物线x=y²的焦点坐标为    ．

12. 难度：中等

若向量，则这两个向量的位置关系是     ．

13. 难度：中等

已知||=2，||=，•=-，则＜，＞=    ．

14. 难度：中等

椭圆5x²+ky²=5的一个焦点是（0，2），那么k=    ．

15. 难度：中等

已知命题p：∀x∈R，ax²+2x+3＞0，如果命题￢p是真命题，那么实数a的取值范围是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知命题p：“∀x∈[1，2]，x²-a≥0”，命题q：“∃x∈R，x²+2ax+2-a=0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．

17. 难度：中等

已知△ABC的两个顶点A、B的坐标分别是（-5，0）、（5，0），边AC、BC所在直线的斜率之积为-，求顶点C的轨迹方程．

18. 难度：中等

已知a、b都是非零向量，且（+3）与（7-5）垂直，（-4）与（7-2）垂直，求与的夹角．

19. 难度：中等

已知命题p：对m∈[-1，1]，不等式a²-5a-3≥恒成立；命题q：不等式x²+ax+2＜0有解．若p是真命题，q是假命题，求a的取值范围．

20. 难度：中等

在棱长AB=AD=2，AA₁=3的长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是平面BCC₁B₁上的动点，点F是CD的中点．试确定点E的位置，使D₁E⊥平面AB₁F．

21. 难度：中等

已知，椭圆C过点A，两个焦点为（-1，0），（1，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．