2012-2013学年广东省揭阳一中高二（下）第一次段考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

定积分sinxdx的值为（ ）
A．2
B．
C．0
D．-2

2. 难度：中等

设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x=-2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

曲线y=x³+x-2在点P处的切线平行于直线y=4x，则点P的坐标是（ ）
A．（0，1）
B．（1，0）
C．（-1，-4）或（1，0）
D．（-1，-4）

4. 难度：中等

函数y=x²-lnx的单调递减区间为（ ）
A．（-1，1]
B．（0，1]
C．[1，+∞）
D．（0，+∞）

5. 难度：中等

以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x²+y²-2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是（ ）
A．y=3x²或y=-3x²
B．y=3x²
C．y²=-9x或y=3x²
D．y=-3x²或y²=9

6. 难度：中等

已知向量=（1，1，0），=（-1，0，2），且与互相垂直，则k的值是（ ）
A．1
B．
C．
D．

7. 难度：中等

观察式子：1+，1+，…，则可归纳出式子为（ ）
A．（n≥2）
B．1+（n≥2）
C．1+（n≥2）
D．1+（n≥2）

8. 难度：中等

设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数（ ）
A．若e^a+2a=e^b+3b，则a＞b
B．若e^a+2a=e^b+3b，则a＜b
C．若e^a-2a=e^b-3b，则a＞b
D．若e^a-2a=e^b-3b，则a＜b

二、填空题

9. 难度：中等

函数f（x）=的导函数为    ．

10. 难度：中等

由曲线y=，直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为    ．

11. 难度：中等

设P是△ABC内一点，△ABC三边上的高分别为h_A、h_B、h_C，P到三边的距离依次为l_a、l_b、l_c，则有++=1；类比到空间，设P是四面体ABCD内一点，四顶点到对面的距离分别是h_A、h_B、h_C、h_D，P到这四个面的距离依次是l_a、l_b、l_c、l_d，则有    ．

12. 难度：中等

已知函数，则的值为    ．

13. 难度：中等

设双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x²+1相切，则该双曲线的离心率等于    ．

14. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则的最小值为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-3x．过点P（2，-6）作曲线y=f（x）的切线，求此切线的方程．

16. 难度：中等

若f（x）=+bln（x+2）在（-1，+∞）上是减函数，求b的取值范围．

17. 难度：中等

某种商品每件进价12元，售价20元，每天可卖出48件．若售价降低，销售量可以增加，且售价降低x（0≤x≤8）元时，每天多卖出的件数与x²+x成正比．已知商品售价降低3元时，一天可多卖出36件．
（1）试将该商品一天的销售利润表示成x的函数；
（2）该商品售价为多少元时一天的销售利润最大？

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+bx在x=1处有极值-2．
（1）求常数a、b；
（2）求曲线y=f（x）与x轴所包围的面积．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+ax-lnx，a∈R
（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；
（2）令g（x）=f（x）-x²，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；
（3）求证：当x∈（0，e]时，e²x-＞lnx+．

20. 难度：中等

设函数f（x）=x³+3bx²+3cx在两个极值点x₁、x₂，且x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]．
（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；
（2）证明：