2012-2013学年福建省泉州市安溪一中、惠安一中、养正中学联考高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若复数z=（x，y∈R，i为虚数单位）是实数，则x的值为（ ）
A．-3
B．3
C．0
D．

2. 难度：中等

两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

在对我市普通高中学生某项身体素质的测试中．测量结果ξ服从正态分布N（1，σ²）（σ＞0），若ξ在（0，2）内取值的概率为0.8，则ξ在（0，1）内取值的概率为（ ）
A．0.2
B．0.4
C．0.6
D．0.3

4. 难度：中等

设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

如图，正方形的四个顶点为O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1），曲线y=x²经过点B，现将一质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）
A．-40
B．-20
C．20
D．40

7. 难度：中等

某展览会一周（七天）内要接待三所学校学生参观，每天只安排一所学校，其中甲学校要连续参观两天，其余学校均参观一天，则不同的安排方法有（ ）
A．210种
B．50种
C．60种
D．120种

8. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+2x+alnx，若函数f（x）在（0，1）上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜-4
B．a≥0
C．a≤-4
D．a＞0

9. 难度：中等

观察下列各式：7²=49，7³=343，7⁴=2401，…，则7²⁰¹¹的末两位数字为（ ）
A．01
B．43
C．07
D．49

10. 难度：中等

若在曲线f（x，y）=0（或y=f（x））上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0或y=f（x）的“自公切线”．下列方程：
①x²-y²=1；
②y=x²-|x|；
③y=3sinx+4cosx；
④|x|+1=
对应的曲线中存在“自公切线”的有（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④

二、填空题

11. 难度：中等

设某种动物由出生算起活到10岁的概率为0.9，活到15岁的概率为0.6．现有一个10岁的这种动物，它能活到15岁的概率是    ．

12. 难度：中等

已知某一随机变量X的概率分布列如下，且E（X）=7，求D（X）=    ．

X	a	5	9
P	0.1	0.3	b

13. 难度：中等

若f（x）=x³+3ax²+3[（a+2）x+1]既有极大值又有极小值，则a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A不能放1，2号，B必须放在与A相邻的盒子中，则不同的放法有    种．

15. 难度：中等

已知命题：若数列{a_n}为等差数列，且a_m=a，a_n=b（m≠n，m、n∈N^*），则a_m+n=；现已知等比数列{b_n}（b_n＞0，n∈N^*），b_m=a，b_n=b（m≠n，m、n∈N^*），若类比上述结论，则可得到b_m+n=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

选修4-2矩阵与变换
（Ⅰ）已知矩阵A=所对应的线性变换把直线l：2x-y=3变换为自身，求A^-1．
（Ⅱ）已知是矩阵B=属于特征值λ₁=2的一个特征向量，求矩阵B及其另一个特征值及其对应的一个特征向量．

17. 难度：中等

在对人们休闲方式的调查中．现随机抽查了n个人，已知男性占总调查人数的，女性占总调查人数的，其中男性有一半的休闲方式是运动；而女性只有的休闲方式是运动，经过调查人员的计算：在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为休闲方式与性别有关，那么被调查的人中最少有多少人的休闲方式是运动？
参考数据与公式：m=60，其中n=a+b+c+d．
临界值表：

P（K^2≥k）	0.10	0.05	0.010
k	2.706	3.841	6.635

18. 难度：中等

某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：

月份x	1	2	3	4	5
y（万盒）	4	4	5	6	6

（1）该同学为了求出y关于x的线性回归方程=+，根据表中数据已经正确计算出=0.6，试求出的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数；
（2）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³-4x+4（a∈R）在x=2取得极值．
（Ⅰ）确定a的值并求函数的单调区间；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=b至多有两个零点，求实数b的取值范围．

20. 难度：中等

广东省汕头市日前提出，要提升市民素质和城市文明程度，促进经济发展有大的提速，努力实现“幸福汕头”的共建共享．现随机抽取50位市民，对他们的幸福指数进行统计分析，得到如下分布表：

幸福级别	非常幸福	幸福	不知道	不幸福
幸福指数（分）	90	60	30
人数（个）	19	21	7	3

（I）求这50位市民幸福指数的数学期望（即平均值）；
（11）以这50人为样本的幸福指数来估计全市市民的总体幸福指数，若从全市市民（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到幸福级别为“非常幸福或幸福”市民人数．求ξ的分布列；
（III）从这50位市民中，先随机选一个人．记他的幸福指数为m，然后再随机选另一个人，记他的幸福指数为n，求n＜m+60的概率P．

21. 难度：中等

已知f（x）=3-4^x+2xln2，数列{a_n} 满足：-＜a₁＜0，=f（a_n） （n∈N^*）
（1）求f（x）在[-，0]上的最大值和最小值；
（2）用数学归纳法证明：-＜a_n＜0；
（3）判断a_n与a_n+1（n∈N^*）的大小，并说明理由．