2011-2012学年湖北省襄阳市襄州、枣阳、宜城、曾都一中联考高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

椭圆2x²+3y²=12的两焦点之间的距离为（ ）
A．2
B．
C．2
D．

2. 难度：中等

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若=，=，=，则=（ ）
A．+-
B．-+
C．-++
D．-+-

3. 难度：中等

已知，，为空间两两垂直的单位向量，且，则=（ ）
A．-15
B．-5
C．-3
D．-1

4. 难度：中等

设A是B的充分不必要条件，C是B的必要不充分条件，D是C的充要条件，则D是A的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

5. 难度：中等

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC₁、AD的中点，那么异面直线OE和FD₁所成的角的余弦值等于（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知F₁，F₂是双曲线的两个焦点，PQ是经过F₁且垂直于实轴的弦，若△PQF₂是等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．+1
C．-1
D．-

7. 难度：中等

若函数f（x）=2x（x-c）²+3在x=2处有极小值，则常数c的值为（ ）
A．2或6
B．6
C．2
D．4

8. 难度：中等

下列命题中是真命题的是（ ）
①“若x²+y²≠0，则x，y不全为零”的否命题；
②“正多边形都相似”的逆命题；
③“对∀x＞0，都有x＞lnx”的否定；
④“若x-是有理数，则x是无理数”的逆否命题．
A．①②③④
B．①③④
C．②③④
D．①④

9. 难度：中等

曲线在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0，则a，b的值分别为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点M在AB上，且AM=，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A₁D₁的距离与动点P到点M的距离的平方差为1，则动点的轨迹是（ ）
A．圆
B．抛物线
C．双曲线
D．直线

二、填空题

11. 难度：中等

抛物线y=ax²的准线方程是y=2，则a的值为    ．

12. 难度：中等

若命题“∃x∈R，使x²+（a-1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为    ．

13. 难度：中等

已知，则的最小值是    ．

14. 难度：中等

设F₁、F₂为曲线C₁：+=1的焦点，P是曲线C₂：-y²=1与C₁的一个交点，则△PF₁F₂的面积为    ．

15. 难度：中等

已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，若f'（x）g（x）＜f（x）g'（x），且f（x）=a^x•g（x）（a＞0且a≠1）及，则a的值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知p：方程x²+mx+1=0有两个不等的负实根，q：方程4x²+4（m-2）x+1=0无实根．若p或q为真，p且q为假．求实数m的取值范围．

17. 难度：中等

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB₁=2，M，N分别是AB，A₁C的中点．
（1）求直线MN与平面A₁B₁C所成的角；
（2）在线段AC上是否存在一点E，使得二面角E-B₁A₁-C的余弦值为？若存在，求出AE的长，若不存在，请说明理由．

18. 难度：中等

某厂生产产品x件的总成本c（x）=（万元），已知产品单价P（万元） 与产品件数x满足：P²=，生产1件这样的产品单价为16万元．
（1）设产量为x件时，总利润为L（x）（万元），求L（x）的解析式；
（2）产量x定为多少件时总利润L（x）（万元）最大？

19. 难度：中等

已知不过坐标原点O的直线L与抛物线y²=2x相交于A、B两点，且OA⊥OB，OE⊥AB于E．
①求证：直线L过定点；
②求点E的轨迹方程．

20. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切，过点P（4，0）的直线L与椭圆C相交于A、B两点．
（1）求椭圆C的方程；   
（2）求的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=alnx+x²（a为实常数）．
（1）若a=-2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；
（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．