2013-2014学年安徽省安庆市望江四中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合A={x|}，B={x|x²＜2x}，则A∩B=（ ）
A．{x|0＜x＜1}
B．{x|0≤x＜1}
C．{x|0＜x≤1}
D．{x|0≤x≤1}

2. 难度：中等

在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ）
A．（0，-1）
B．（0，1）
C．（，-）
D．（，）

3. 难度：中等

已知{a_n}为等差数列，若a₁+a₅+a₉=8π，则cos（a₃+a₇）的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+bx²-2（a≠0）有且仅有两个不同的零点x₁，x₂，则（ ）
A．当a＜0时，x₁+x₂＜0，x₁x₂＞0
B．当a＜0时，x₁+x₂＞0，x₁x₂＜0
C．当a＞0时，x₁+x₂＜0，x₁x₂＞0
D．当a＞0时，x₁+x₂＞0，x₁x₂＜0

5. 难度：中等

设集合M是R的子集，如果点x∈R满足：∀a＞0，∃x∈M，0＜|x-x|＜a，称x为集合M的聚点．则下列集合中以1为聚点的有（ ）
①；    
②；    
③Z；    
④{y|y=2^x}．
A．①④
B．②③
C．①②
D．①②④

6. 难度：中等

在下列命题中，
①“”是“sinα=1”的充要条件；
②的展开式中的常数项为2；
③设随机变量ξ～N（0，1），若P（ξ≥1）=p，则．
其中所有正确命题的序号是（ ）
A．②
B．③
C．②③
D．①③

7. 难度：中等

已知偶函数f（x）（x∈R），当x∈（-2，0]时，f（x）=-x（2+x），当x∈[2，+∞）时，f（x）=（x-2）（a-x）（a∈R）．
关于偶函数f（x）的图象G和直线l：y=m（m∈R）的3个命题如下：
①当a=4时，存在直线l与图象G恰有5个公共点；
②若对于∀m∈[0，1]，直线l与图象G的公共点不超过4个，则a≤2；
③∀m∈（1，+∞），∃a∈（4，+∞），使得直线l与图象G交于4个点，且相邻点之间的距离相等．
其中正确命题的序号是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③

8. 难度：中等

已知函数f（x）=a•2^|x|+1（a≠0），定义函数给出下列命题：
①F（x）=|f（x）|； 
②函数F（x）是奇函数；
③当a＜0时，若mn＜0，m+n＞0，总有F（m）+F（n）＜0成立，
其中所有正确命题的序号是（ ）
A．②
B．①③
C．②③
D．①②

9. 难度：中等

一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有（ ）
A．12种
B．15种
C．17种
D．19种

10. 难度：中等

若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=f（x-1），且x∈[-1，1]时，f（x）=1-x²，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）-g（x）在区间[-5，5]内的零点的个数为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9

二、填空题

11. 难度：中等

设方程2^x+x-4=0的根为α，设方程log₂x+x-4=0的根为β，则a+β=    ．

12. 难度：中等

数列{a_n}的通项公式a_n=ncos，其前n项和为S_n，则S₂₀₁₃=    ．

13. 难度：中等

若正整数w，x，y，z满足w!=x!+y!+z!，则数组（w，x，y，z）可能是    ．

14. 难度：中等

已知a，b均为正数且acos²θ+bsin²θ≤6，则cos²θ+sin²θ的最大值为    ．

15. 难度：中等

函数B₁的定义域为A，若x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=x+1（x∈R）是单函数．下列命题：
①函数f（x）=x²-2x（x∈R）是单函数；
②函数f（x）=是单函数；
③若y=f（x）为单函数，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂）；
④函数f（x）在定义域内某个区间D上具有单调性，则f（x）一定是单函数．
其中的真命题是    （写出所有真命题的编号）．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=（a^x-a^-x），其中a＞0，a≠1
（1）对于函数f（x），当x∈（-1，1）时，f（1-m）+f（1-m²）＜0，求实数m的取值集合；
（2）当x∈（-∞，2）时，f（x）-4的值为负，求a的取值范围．

17. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，E是PC的中点．
（1）证明平面BDE⊥平面PBC；
（2）求二面角E-BD-C的余弦值．

18. 难度：中等

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
（1）sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°
（2）sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°
（3）sin²18°+cos²12°-sin18°cos12°
（4）sin²（-18°）+cos²48°-sin²（-18°）cos48°
（5）sin²（-25°）+cos²55°-sin²（-25°）cos55°
（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-alnx（a＞0）
（1）若a=2，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．

20. 难度：中等

如图，过抛物线x²=4y的对称轴上任一点P（0，m）（m＞0）作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点．
（I）设点P分有向线段所成的比为λ，证明：
（Ⅱ）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A，B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．

21. 难度：中等

已知函数（a＞0）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x=-5时，f（x）取得极值．
①若m≥-5，求函数f（x）在[m，m+1]上的最小值；
②求证：对任意x₁，x₂∈[-2，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤2．