2012-2013学年四川省成都七中高二（下）3月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知M（-2，0）、N（2，0），|PM|-|PN|=4，则动点P的轨迹是（ ）
A．双曲线
B．双曲线左边一支
C．一条射线
D．双曲线右边一支

2. 难度：中等

若圆x²+y²=4上每个点的横坐标不变．纵坐标缩短为原来的，则所得曲线的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

抛物线关于直线x-y=0对称的抛物线的焦点坐标是（ ）
A．（1，0）
B．（
C．（0，1）
D．

4. 难度：中等

若P是以F₁，F₂为焦点的椭圆上的一点，且，，则此椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

设θ是△ABC的一个内角，且sinθ+cosθ=，则x²sinθ-y²cosθ=1表示（ ）
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在x轴上的双曲线
D．焦点在y轴上的双曲线

6. 难度：中等

若双曲线的两条渐进线的夹角为60°，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2
B．
C．2或
D．2或

7. 难度：中等

经过点P（，0）且与双曲线4x²-y²=1仅交于一点的直线有（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

8. 难度：中等

已知点P的双曲线（a＞0，b＞0）右支上一点，F₁、F₂分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF₁F₂的内心，若S_△IPF1=S_△IPF2+λS_△IF1F₂成立，则λ的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处，其重心是椭圆的一个焦点，求该椭圆离心率e的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

过抛物线y²=2x内的任意一点Q（s，t）（t²＜2s）作两条相互垂直的弦AB，CD，若弦AB，CD的中点分别为M，N，直线MN恒过定点（ ）
A．（s+1，0）
B．（|1-s|，0）
C．（1+2s，0）
D．（|1-2s|，0）

二、填空题

11. 难度：中等

已知双曲线的一个焦点与圆x²+y²-10x=0的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为    ．

12. 难度：中等

等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y²=4x的准线交于A、B两点，AB=，则C的实轴长为    ．

13. 难度：中等

已知椭圆E的离心率为e，两焦点为F₁、F₂，抛物线C以F₁为顶点，F₂为焦点，P为两曲线的一个交点，若=e，则e的值为    ．

14. 难度：中等

如图，过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为    ．

15. 难度：中等

设点A，B的坐标分别为（-a，0），（a，0）．直线AM，BM相交于点M，且他们的斜率之积为k．则下列说法正确的是   
（1）当k=时，点M的轨迹是双曲线．（其中a，b∈R⁺）
（2）当k=-时，点M的轨迹是部分椭圆．（其中a，b∈R⁺）
（3）在（1）条件下，点p（x，y）（x＜0）是曲线上的点F₁（-，F₂（，0），且|PF₁|=|PF₂|，则（1）的轨迹所在的圆锥曲线的离心率取值范围（1，]
（4）在（2）的条件下，过点F₁（-，0），F₂（，0）．满足=0的点M总在曲线的内部，则（2）的轨迹所在的圆锥曲线的离心率的取值范围是．

三、解答题

16. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点（-，0），（，0）的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线l过点E（-1，0）且与曲线C交于A，B两点．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）若AB中点横坐标为-，求直线AB的方程；
（3）是否存在△AOB面积的最大值，若存在，求出△AOB的面积；若不存在，说明理由．

17. 难度：中等

已知E（2，2）是抛物线C：y²=2px上一点，经过点（2，0）的直线l与抛物线C交于A，B两点（不同于点E），直线EA，EB分别交直线-2于点M，N．
（1）求抛物线方程及其焦点坐标；
（2）已知O为原点，求证：以MN为直径的圆恰好经过原点．

18. 难度：中等

曲线C₁，C₂都是以原点O为对称中心、离心率相等的椭圆．点M的坐标是（0，1），线段MN是C₁的短轴，是C₂的长轴．直线l：y=m（0＜m＜1）与C₁交于A，D两点（A在D的左侧），与C₂交于B，C两点（B在C的左侧）．
（Ⅰ）当m=，时，求椭圆C₁，C₂的方程；
（Ⅱ）若OB∥AN，求离心率e的取值范围．

19. 难度：中等

在平面直角坐标系中，A点坐标为（1，1），B点与A点关于坐标原点对称，过动点P作x轴的垂线，垂足为C点，而点D满足，且有，
（1）求点D的轨迹方程；
（2）求△ABD面积的最大值；
（3）斜率为k的直线l被（1）中轨迹所截弦的中点为M，若∠AMB为直角，求k的取值范围．

20. 难度：中等

已知抛物线的顶点在坐标原点O，焦点F在x轴正半轴上，倾斜角为锐角的直线l过F点，设直线l与抛物线交于A、B两点，与抛物线的准线交于M点，=λ（λ＞0）
（1）若λ=1，求直线l斜率
（2）若点A、B在x轴上的射影分别为A₁，B₁且||，||，2||成等差数列求λ的值
（3）设已知抛物线为C1：y²=x，将其绕顶点按逆时针方向旋转90°变成C₁^′．圆C2：x²+（y-4）=1的圆心为点N．已知点P是抛物线C₁^′上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C^′₁于T，S，两点，若过N，P两点的直线l垂直于TS，求直线l的方程．